Đăng nhậpDùng miễn phí

Toán 12 · Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Làm thế nào để biết mẫu số liệu trải rộng bao nhiêu, dữ liệu tập trung ra sao và có bị ảnh hưởng bởi điểm bất thường hay không? Bài này dùng hai số đặc trưng: khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.

Nhớ nhanh

Điểm cần nhớ
  • Khoảng biến thiên: R=max⁡−min⁡R=\max-\min. Với mẫu ghép nhóm: R=R= biên trên nhóm cuối −- biên dưới nhóm đầu.
  • Tứ phân vị cho mẫu ghép nhóm: xác định vị trí n4\dfrac{n}{4} và 3n4\dfrac{3n}{4}; tìm nhóm chứa qua tần số tích luỹ; rồi nội suy trong nhóm chứa.
  • Q1=xd+hf(n4−F)Q_1=x_d+\dfrac{h}{f}\left(\dfrac{n}{4}-F\right) và Q3=xd+hf(3n4−F)Q_3=x_d+\dfrac{h}{f}\left(\dfrac{3n}{4}-F\right).
  • ΔQ=Q3−Q1\Delta_Q=Q_3-Q_1: đo mức độ phân tán của 50%50\% số liệu ở giữa, ít nhạy với giá trị ngoại lai hơn RR.
  • Khi so sánh hai mẫu: ΔQ\Delta_Q nhỏ hơn thì nửa số liệu ở giữa tập trung hơn (ít phân tán hơn).
  • Giá trị ngoại lai: x<Q1−1,5ΔQx<Q_1-1{,}5\Delta_Q hoặc x>Q3+1,5ΔQx>Q_3+1{,}5\Delta_Q.
Câu hỏi 1

Nếu mẫu số liệu xuất hiện thêm hai giá trị ngoại lai ở hai đầu thì RR và ΔQ\Delta_Q thay đổi thế nào?

Gợi ý trả lời

Khoảng biến thiên RR dễ bị kéo giãn mạnh ngay lập tức, còn ΔQ\Delta_Q thường gần như không đổi vì nó chỉ xét 50%50\% số liệu ở giữa và bỏ qua hai phần đuôi.

1. Khoảng biến thiên

Định nghĩa

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu, kí hiệu RR, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:

R=max⁡−min⁡.R=\max-\min.

Với mẫu số liệu ghép nhóm, nếu nhóm đầu tiên có biên dưới aa và nhóm cuối cùng có biên trên bb thì

R=b−a.R=b-a.
Lưu ý

Khoảng biến thiên chỉ phụ thuộc vào hai giá trị cực trị nên rất dễ bị thay đổi khi xuất hiện giá trị ngoại lai. Nếu nhóm đầu tiên hoặc nhóm cuối cùng là nhóm mở vô hạn (ví dụ (−∞;20)\left(-\infty;20\right) hoặc [60;+∞)\left[60;+\infty\right)) thì chỉ từ bảng ghép nhóm chưa đủ để xác định chính xác RR.

2. Khoảng tứ phân vị

Định nghĩa

Xét mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

  • Tứ phân vị thứ nhất, kí hiệu Q1Q_1, là giá trị xấp xỉ mà khoảng 25%25\% số liệu nằm bên trái nó.
  • Tứ phân vị thứ ba, kí hiệu Q3Q_3, là giá trị xấp xỉ mà khoảng 75%75\% số liệu nằm bên trái nó.

Khoảng tứ phân vị, kí hiệu ΔQ\Delta_Q, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất:

ΔQ=Q3−Q1.\Delta_Q=Q_3-Q_1.
Lưu ý

Khoảng tứ phân vị cho biết mức độ phân tán của 50%50\% số liệu ở giữa. Vì bỏ qua hai phần đuôi nên nó ít bị tác động bởi giá trị ngoại lai hơn khoảng biến thiên. Giá trị xx được coi là giá trị ngoại lai nếu x<Q1−1,5ΔQx<Q_1-1{,}5\Delta_Q hoặc x>Q3+1,5ΔQx>Q_3+1{,}5\Delta_Q.

Các bước tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
  1. 1.
    Tính tổng tần số nn.
  2. 2.
    Xác định vị trí xấp xỉ: Q1Q_1 nằm quanh vị trí n4\dfrac{n}{4}, Q3Q_3 nằm quanh vị trí 3n4\dfrac{3n}{4} trên dãy số liệu đã sắp tăng dần.
  3. 3.
    Tra bảng tần số tích luỹ để tìm nhóm chứa: đó là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng mức cần tìm. Nếu mức cần tìm trùng đúng ranh giới giữa hai nhóm thì Q1Q_1 hoặc Q3Q_3 chính là ranh giới đó.
  4. 4.

    Nếu rơi vào trong nhóm thì nội suy tuyến tính trong nhóm: gọi xdx_d là biên dưới, hh là bề rộng nhóm, ff là tần số nhóm chứa, FF là tần số tích luỹ của các nhóm đứng trước. Khi đó

    Q1=xd+hf(n4−F),Q3=xd+hf(3n4−F).Q_1=x_d+\frac{h}{f}\left(\frac{n}{4}-F\right),\qquad Q_3=x_d+\frac{h}{f}\left(\frac{3n}{4}-F\right).
Lưu ý

Công thức trên là cách ước lượng giá trị Q1,Q3Q_1,Q_3, dựa trên giả định dữ liệu phân bố đều trong từng nhóm. Luôn kiểm tra Q1≤Q3Q_1\le Q_3; nếu kết quả tính ra ngược lại thì có thể đã nhầm nhóm chứa hoặc nhầm ranh giới.

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Thời gian hoàn thành một bài khảo sát của 4040 học sinh được ghi lại trong bảng sau (đơn vị: phút).

NhómTần sốTích luỹGhi chú
[10;15)[10;15)55
[15;20)[15;20)813chứa Q1Q_1
[20;25)[20;25)1225
[25;30)[25;30)1035chứa Q3Q_3
[30;35][30;35]540

Hãy tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải · 7 bước

Tổng tần số n=40n=40. Nhóm đầu có biên dưới 1010, nhóm cuối có biên trên 3535, nên

R=35−10=25.R=35-10=25.
Bước 2

Ta tìm Q1Q_1. Vì n4=404=10\dfrac{n}{4}=\dfrac{40}{4}=10 và 5<10≤135<10\le 13 nên Q1Q_1 thuộc nhóm [15;20)[15;20). Do đó

xd=15,h=5,f=8,F=5.x_d=15,\quad h=5,\quad f=8,\quad F=5.
Bước 3

Suy ra

Q1=15+58(10−5)=18,125.Q_1=15+\frac{5}{8}(10-5)=18{,}125.
Bước 4

Ta tìm Q3Q_3. Vì 3n4=1204=30\dfrac{3n}{4}=\dfrac{120}{4}=30 và 25<30≤3525<30\le 35 nên Q3Q_3 thuộc nhóm [25;30)[25;30). Do đó

xd=25,h=5,f=10,F=25.x_d=25,\quad h=5,\quad f=10,\quad F=25.
Bước 5

Suy ra

Q3=25+510(30−25)=27,5.Q_3=25+\frac{5}{10}(30-25)=27{,}5.
Bước 6

Vậy

ΔQ=Q3−Q1=27,5−18,125=9,375.\Delta_Q=Q_3-Q_1=27{,}5-18{,}125=9{,}375.
Bước 7

Kết luận: toàn mẫu trải trong khoảng rộng 2525 phút, còn khoảng giữa chứa 50%50\% số liệu chỉ rộng khoảng 9,3759{,}375 phút.

Hình minh hoạ
Ví dụ 2

Một trường học khảo sát thời gian luyện tập thể lực mỗi tuần của 3232 học sinh khối 12 và được mẫu số liệu ghép nhóm sau.

Nhóm (giờ)Tần sốTích luỹ
[0;2)[0;2)55
[2;4)[2;4)914
[4;6)[4;6)1125
[6;8)[6;8)530
[8;10][8;10]232

Hãy tính RR, Q1Q_1, Q3Q_3, ΔQ\Delta_Q và nhận xét mức độ phân tán.

Lời giải · 5 bước

Ta có n=32n=32, R=10−0=10R=10-0=10.

Bước 2

Với Q1Q_1: n4=8\dfrac{n}{4}=8; vì 5<8≤145<8\le 14 nên Q1Q_1 thuộc nhóm [2;4)[2;4). Do đó

Q1=2+29(8−5)=83≈2,67.Q_1=2+\frac{2}{9}(8-5)=\frac{8}{3}\approx 2{,}67.
Bước 3

Với Q3Q_3: 3n4=24\dfrac{3n}{4}=24; vì 14<24≤2514<24\le 25 nên Q3Q_3 thuộc nhóm [4;6)[4;6). Do đó

Q3=4+211(24−14)=6411≈5,82.Q_3=4+\frac{2}{11}(24-14)=\frac{64}{11}\approx 5{,}82.
Bước 4

Suy ra

ΔQ=Q3−Q1≈5,82−2,67=3,15.\Delta_Q=Q_3-Q_1\approx 5{,}82-2{,}67=3{,}15.
Bước 5

Nhận xét: ΔQ≈3,15\Delta_Q\approx 3{,}15 giờ nhỏ hơn nhiều so với R=10R=10 giờ, nên 50%50\% số liệu ở giữa tập trung trong một khoảng hẹp hơn nhiều so với toàn mẫu.

Gặp bài khó? Chụp ảnh để CEAO giảiAI giải từng bước, đề kiểm tra theo bài, thẻ ghi nhớ. Đăng ký miễn phí.
Thử ngay