Đăng nhậpDùng miễn phí

Toán 12 · Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn là hai thước đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm, được xây dựng từ khoảng cách của các giá trị đến trung bình mẫu.

Nhớ nhanh

1. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Số trung bình mẫu cho biết giá trị trung tâm, nhưng chưa cho biết các giá trị của mẫu dàn trải rộng hay hẹp quanh trung bình. Chẳng hạn, hai mẫu cùng có trung bình 6 giờ, nhưng giờ ngủ có thể là 5, 6, 7 hoặc 4, 6, 8. Để phân biệt các mẫu như vậy, người ta dùng phương sai.

Xét mẫu số liệu ghép nhóm gồm kk nhóm [a1;a2),[a2;a3),…,[ak;ak+1)[a_1;a_2), [a_2;a_3), \ldots, [a_k;a_{k+1}) với tần số tương ứng m1,m2,…,mkm_1, m_2, \ldots, m_k. Gọi xi=ai+ai+12x_i=\dfrac{a_i+a_{i+1}}{2} là giá trị đại diện của nhóm thứ ii và

n=m1+m2+⋯+mkn=m_1+m_2+\cdots+m_k

là cỡ mẫu. Số trung bình của mẫu là

xˉ=m1x1+m2x2+⋯+mkxkn=1n∑i=1kmixi.\bar{x}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_kx_k}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k m_i x_i.
Định nghĩa

Đại lượng

s2=1n[m1(x1−xˉ)2+m2(x2−xˉ)2+⋯+mk(xk−xˉ)2]s^2=\frac{1}{n}\left[m_1(x_1-\bar{x})^2+m_2(x_2-\bar{x})^2+\cdots+m_k(x_k-\bar{x})^2\right]

được gọi là phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s2s^2.

Số xi−xˉx_i-\bar{x} là độ lệch của xix_i so với trung bình. Vì lấy bình phương nên các độ lệch dương, âm đều được tính như nhau; giá trị càng xa trung bình thì đóng góp càng lớn vào phương sai.

Công thức tính phương sai.

Với các kí hiệu trên, ta có

s2=1n(m1x12+m2x22+⋯+mkxk2)−xˉ2.s^2=\frac{1}{n}\left(m_1x_1^2+m_2x_2^2+\cdots+m_kx_k^2\right)-\bar{x}^2.
Lưu ý
  • Phương sai luôn không âm: s2≥0s^2\ge 0.
  • s2s^2 càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán; s2s^2 càng nhỏ thì các giá trị càng sát trung bình.
  • Đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị đo của số liệu gốc.

2. Độ lệch chuẩn

Định nghĩa

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu

s=s2.s=\sqrt{s^2}.

Ưu điểm của độ lệch chuẩn là có cùng đơn vị đo với các giá trị ban đầu, nên dễ hình dung và thuận tiện khi so sánh mức độ phân tán giữa các mẫu cùng đơn vị.

Các bước tính phương sai và độ lệch chuẩn
  1. 1.
    Xác định giá trị đại diện xix_i (trung điểm) của mỗi nhóm, tần số mim_i và cỡ mẫu n=∑min=\sum m_i.
  2. 2.
    Tính số trung bình xˉ=1n∑mixi\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum m_i x_i.
  3. 3.
    Lập bảng tính các cột xix_i, mim_i, xi−xˉx_i-\bar{x}, (xi−xˉ)2(x_i-\bar{x})^2, mi(xi−xˉ)2m_i(x_i-\bar{x})^2 (hoặc cột mixi2m_ix_i^2 nếu dùng công thức rút gọn).
  4. 4.
    Tính s2=1n∑mi(xi−xˉ)2s^2=\dfrac{1}{n}\sum m_i(x_i-\bar{x})^2 rồi suy ra s=s2s=\sqrt{s^2}.
Khi so sánh hai mẫu số liệu

Thông thường, ta dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ phân tán khi hai mẫu có cùng đơn vị đo và trung bình mẫu xấp xỉ bằng nhau.

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Bảng sau cho biết thời gian (phút) chạy hết một vòng sân của 30 học sinh lớp 12A.

Thời gian[5;6)[5;6)[6;7)[6;7)[7;8)[7;8)[8;9)[8;9)[9;10)[9;10)
Số học sinh271272

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải · 5 bước

Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là 5,55{,}5; 6,56{,}5; 7,57{,}5; 8,58{,}5; 9,59{,}5. Ta có n=30n=30 và

xˉ=5,5⋅2+6,5⋅7+7,5⋅12+8,5⋅7+9,5⋅230=22530=7,5.\bar{x}=\frac{5{,}5\cdot2+6{,}5\cdot7+7{,}5\cdot12+8{,}5\cdot7+9{,}5\cdot2}{30}=\frac{225}{30}=7{,}5.
Bước 2

Lập bảng tính các độ lệch so với trung bình:

xix_imim_ixi−xˉx_i-\bar{x}(xi−xˉ)2(x_i-\bar{x})^2mi(xi−xˉ)2m_i(x_i-\bar{x})^2
5,55{,}52−2-248
6,56{,}57−1-117
7,57{,}512000
8,58{,}57117
9,59{,}52248
Tổng3030
Bước 3

Vậy

s2=3030=1,s=1=1 (phuˊt).s^2=\frac{30}{30}=1,\qquad s=\sqrt{1}=1\ \text{(phút)}.
Bước 4

Kiểm tra bằng công thức rút gọn:

1n∑mixi2=60,5+295,75+675+505,75+180,530=1717,530=57,25,\frac{1}{n}\sum m_i x_i^2=\frac{60{,}5+295{,}75+675+505{,}75+180{,}5}{30}=\frac{1717{,}5}{30}=57{,}25,
Bước 5

nên s2=57,25−7,52=57,25−56,25=1s^2=57{,}25-7{,}5^2=57{,}25-56{,}25=1.

Ví dụ 2

Thời gian ngủ mỗi đêm (giờ) của 20 sinh viên ở mỗi kí túc xá A, B được cho trong bảng sau.

Thời gian[4;5)[4;5)[5;6)[5;6)[6;7)[6;7)[7;8)[7;8)[8;9)[8;9)
Kí túc xá A051050
Kí túc xá B501005

Hỏi sinh viên ở kí túc xá nào có thời gian ngủ đồng đều hơn?

Lời giải · 4 bước

Giá trị đại diện các nhóm: 4,54{,}5; 5,55{,}5; 6,56{,}5; 7,57{,}5; 8,58{,}5. Với mỗi mẫu, n=20n=20.

Bước 2

Kí túc xá A:

xˉA=5,5⋅5+6,5⋅10+7,5⋅520=13020=6,5.\bar{x}_A=\frac{5{,}5\cdot5+6{,}5\cdot10+7{,}5\cdot5}{20}=\frac{130}{20}=6{,}5.
sA2=(−1)2⋅5+02⋅10+12⋅520=1020=0,5,sA=0,5≈0,71 (giờ).s_A^2=\frac{(-1)^2\cdot5+0^2\cdot10+1^2\cdot5}{20}=\frac{10}{20}=0{,}5,\qquad s_A=\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}71\text{ (giờ)}.
Bước 3

Kí túc xá B:

xˉB=4,5⋅5+6,5⋅10+8,5⋅520=13020=6,5.\bar{x}_B=\frac{4{,}5\cdot5+6{,}5\cdot10+8{,}5\cdot5}{20}=\frac{130}{20}=6{,}5.
sB2=(−2)2⋅5+02⋅10+22⋅520=4020=2,sB=2≈1,41 (giờ).s_B^2=\frac{(-2)^2\cdot5+0^2\cdot10+2^2\cdot5}{20}=\frac{40}{20}=2,\qquad s_B=\sqrt{2}\approx 1{,}41\text{ (giờ)}.
Bước 4

Hai mẫu có cùng trung bình 6,56{,}5 giờ nhưng sA<sBs_A<s_B. Vậy thời gian ngủ của sinh viên kí túc xá A đồng đều hơn kí túc xá B.

Gặp bài khó? Chụp ảnh để CEAO giảiAI giải từng bước, đề kiểm tra theo bài, thẻ ghi nhớ. Đăng ký miễn phí.
Thử ngay