Đăng nhậpDùng miễn phí

Toán 12 · Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Từ toạ độ của vectơ trong hệ trục OxyzOxyz, ta có công thức trực tiếp cho các phép toán trên vectơ và cho cosin góc giữa hai vectơ, giúp việc tính toán trở nên gọn nhẹ trong nhiều bài toán thực tiễn.

Nhớ nhanh

Câu hỏi 1 (Tự kiểm tra)

Cho a⃗=(1;−2;3)\vec{a}=(1;-2;3) và b⃗=(2;t;−1)\vec{b}=(2;t;-1). Tìm tt để hai vectơ a⃗,b⃗\vec{a},\vec{b} vuông góc.

Gợi ý trả lời

Đặt tích vô hướng bằng 00:

1⋅2+(−2)⋅t+3⋅(−1)=0  ⟺  −2t−1=0.1\cdot2+(-2)\cdot t+3\cdot(-1)=0\iff -2t-1=0.

Từ đó t=−12t=-\frac{1}{2}.

1. Toạ độ của vectơ trong không gian

Trong không gian với hệ trục OxyzOxyz, gọi i⃗,j⃗,k⃗\vec{i},\vec{j},\vec{k} là các vectơ đơn vị trên các trục Ox,Oy,OzOx,Oy,Oz.

Định nghĩa

Mỗi điểm M(x;y;z)M(x;y;z) xác định vectơ OM→\overrightarrow{OM}. Ta nói OM→\overrightarrow{OM} có toạ độ là (x;y;z)(x;y;z) và viết

OM→=xi⃗+yj⃗+zk⃗.\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.

Ngược lại, mỗi vectơ u⃗=OM→\vec{u}=\overrightarrow{OM} đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng

u⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗.\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.

Bộ ba (x;y;z)(x;y;z) gọi là toạ độ của u⃗\vec{u}, kí hiệu u⃗=(x;y;z)\vec{u}=(x;y;z).

Với hai điểm A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A), B(xB;yB;zB)B(x_B;y_B;z_B), vectơ AB→\overrightarrow{AB} có toạ độ

AB→=(xB−xA; yB−yA; zB−zA).\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A).

2. Các phép toán trên vectơ qua toạ độ

Công thức toạ độ của các phép toán vectơ.

Cho u⃗=(x;y;z)\vec{u}=(x;y;z), v⃗=(x′;y′;z′)\vec{v}=(x';y';z'), k∈Rk\in\mathbb{R}. Khi đó:

Phép toánBiểu thức toạ độ
Tổng hai vectơu⃗+v⃗=(x+x′;y+y′;z+z′)\vec{u}+\vec{v}=(x+x';y+y';z+z')
Hiệu hai vectơu⃗−v⃗=(x−x′;y−y′;z−z′)\vec{u}-\vec{v}=(x-x';y-y';z-z')
Nhân vectơ với số kkku⃗=(kx;ky;kz)k\vec{u}=(kx;ky;kz)
Tích vô hướngu⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'
Độ dài vectơ∣u⃗∣=x2+y2+z2\left|\vec{u}\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

Các công thức trên được suy ra từ tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng vectơ, tính chất kết hợp của phép nhân vectơ với số cùng tính chất phân phối của tích vô hướng và các đẳng thức

i⃗⋅i⃗=j⃗⋅j⃗=k⃗⋅k⃗=1,\vec{i}\cdot\vec{i}=\vec{j}\cdot\vec{j}=\vec{k}\cdot\vec{k}=1,
i⃗⋅j⃗=i⃗⋅k⃗=j⃗⋅k⃗=0.\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{i}\cdot\vec{k}=\vec{j}\cdot\vec{k}=0.

Từ công thức độ dài của vectơ AB→\overrightarrow{AB}, ta có khoảng cách giữa hai điểm AA và BB:

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.
Toạ độ trung điểm và trọng tâm.

Cho A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A), B(xB;yB;zB)B(x_B;y_B;z_B), C(xC;yC;zC)C(x_C;y_C;z_C) (AA, BB, CC không thẳng hàng).

  • Trung điểm MM của đoạn ABAB: M(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right).

  • Trọng tâm GG của tam giác ABCABC:

    G(xA+xB+xC3;yA+yB+yC3;zA+zB+zC3).G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3};\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\right).
Công thức cosin góc giữa hai vectơ khác vectơ không.

Với u⃗≠0⃗\vec{u}\ne\vec{0}, v⃗≠0⃗\vec{v}\ne\vec{0}, góc giữa hai vectơ được xác định bởi

cos⁡(u⃗,v⃗)=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣=xx′+yy′+zz′x2+y2+z2x′2+y′2+z′2.\cos(\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\left|\vec{v}\right|} =\frac{xx'+yy'+zz'}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}.
Điều kiện để hai vectơ vuông góc.

Hai vectơ u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v} đều khác vectơ không thì

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0  ⟺  xx′+yy′+zz′=0.\vec{u}\perp\vec{v}\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0\iff xx'+yy'+zz'=0.
Lưu ý
  • Công thức tính góc chỉ dùng được khi cả hai vectơ đều khác 0⃗\vec{0}.
  • Kết quả cos⁡(u⃗,v⃗)\cos(\vec{u},\vec{v}) luôn nằm trong đoạn [−1;1][-1;1]; nếu tính được giá trị vượt ra ngoài thì cần kiểm tra lại số liệu hoặc phép tính.
  • Dấu của u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} cho biết góc giữa hai vectơ: tích dương thì góc nhọn hoặc hai vectơ cùng chiều; tích âm thì góc tù hoặc hai vectơ ngược chiều; tích bằng 00 thì vuông góc.
Các bước tìm góc giữa hai vectơ cho trước toạ độ
  1. 1.
    Tính tích vô hướng u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}.
  2. 2.
    Tính ∣u⃗∣\left|\vec{u}\right| và ∣v⃗∣\left|\vec{v}\right|.
  3. 3.
    Thay vào công thức cosin, sau đó dùng máy tính cầm tay nếu đề bài yêu cầu giá trị gần đúng của góc.

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Cho a⃗=(2;−1;3)\vec{a}=(2;-1;3) và b⃗=(−1;4;0)\vec{b}=(-1;4;0). Tính toạ độ các vectơ a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b}, a⃗−b⃗\vec{a}-\vec{b}, 3a⃗−2b⃗3\vec{a}-2\vec{b}.

Lời giải

Ta có

a⃗+b⃗=(2−1;−1+4;3+0)=(1;3;3),\vec{a}+\vec{b}=(2-1;-1+4;3+0)=(1;3;3),
a⃗−b⃗=(2+1;−1−4;3−0)=(3;−5;3),\vec{a}-\vec{b}=(2+1;-1-4;3-0)=(3;-5;3),
3a⃗−2b⃗=3(2;−1;3)−2(−1;4;0)=(8;−11;9).3\vec{a}-2\vec{b}=3(2;-1;3)-2(-1;4;0)=(8;-11;9).
Ví dụ 2

Cho a⃗=(3;−1;2)\vec{a}=(3;-1;2) và b⃗=(1;2;−2)\vec{b}=(1;2;-2). Tính tích vô hướng của hai vectơ và xấp xỉ cosin góc giữa chúng.

Lời giải · 3 bước

Ta có

a⃗⋅b⃗=3⋅1+(−1)⋅2+2⋅(−2)=3−2−4=−3.\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot1+(-1)\cdot2+2\cdot(-2)=3-2-4=-3.
Bước 2

Mà ∣a⃗∣=32+(−1)2+22=14\left|\vec{a}\right|=\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{14}, ∣b⃗∣=12+22+(−2)2=3\left|\vec{b}\right|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=3, nên

cos⁡(a⃗,b⃗)=−3314=−114=−1414.\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{-3}{3\sqrt{14}}=-\frac{1}{\sqrt{14}}=-\frac{\sqrt{14}}{14}.
Bước 3

Suy ra góc giữa hai vectơ xấp xỉ bằng 105,5∘105{,}5^\circ.

Ví dụ 3

Tìm mm để hai vectơ a⃗=(2;m;−1)\vec{a}=(2;m;-1) và b⃗=(m;3;4)\vec{b}=(m;3;4) vuông góc với nhau.

Lời giải · 4 bước

Hai vectơ khác vectơ không vuông góc khi và chỉ khi

a⃗⋅b⃗=0.\vec{a}\cdot\vec{b}=0.
Bước 2

Ta có

a⃗⋅b⃗=2⋅m+m⋅3+(−1)⋅4=5m−4.\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot m+m\cdot3+(-1)\cdot4=5m-4.
Bước 3

Do đó

5m−4=0  ⟺  m=45.5m-4=0\iff m=\frac{4}{5}.
Bước 4

Vậy với m=45m=\dfrac{4}{5} thì hai vectơ đã cho vuông góc.

Ví dụ 4 (Thực tiễn)

Một máy bay không người lái bay trong không gian, toạ độ được tính theo đơn vị mét. Tại thời điểm đầu, máy bay ở vị trí A(2;−1;3)A(2;-1;3); sau đó đến vị trí B(10;5;12)B(10;5;12). Nếu thời gian bay là 22 giây, hãy tính vectơ chuyển dịch AB→\overrightarrow{AB}, quãng đường bay và tốc độ trung bình (xét trên đoạn thẳng ABAB).

Lời giải · 3 bước

Vectơ chuyển dịch là

AB→=(10−2;5−(−1);12−3)=(8;6;9).\overrightarrow{AB}=(10-2;5-(-1);12-3)=(8;6;9).
Bước 2

Quãng đường bay là

AB=82+62+92=181≈13,45 (m).AB=\sqrt{8^2+6^2+9^2}=\sqrt{181}\approx13{,}45\text{ (m)}.
Bước 3

Tốc độ trung bình trên đoạn thẳng ABAB là

AB2=1812≈6,73 (m/s).\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{181}}{2}\approx6{,}73\text{ (m/s)}.
Gặp bài khó? Chụp ảnh để CEAO giảiAI giải từng bước, đề kiểm tra theo bài, thẻ ghi nhớ. Đăng ký miễn phí.
Thử ngay