Đăng nhậpDùng miễn phí

Toán 12 · Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian

Gắn cho mỗi điểm trong không gian một bộ ba số thực: toạ độ của điểm, vectơ, trung điểm, tâm và khoảng cách.

Nhớ nhanh

1. Hệ trục toạ độ trong không gian

Định nghĩa

Hệ trục toạ độ OxyzOxyz gồm ba trục Ox,Oy,OzOx,Oy,Oz cùng vuông góc từng đôi một và có chung gốc OO. Ba vectơ đơn vị i⃗,j⃗,k⃗\vec i,\vec j,\vec k lần lượt chỉ chiều dương của Ox,Oy,OzOx,Oy,Oz. Hệ trục này còn gọi là hệ toạ độ OxyzOxyz; OO là gốc toạ độ; các mặt phẳng (Oxy)(Oxy), (Oyz)(Oyz), (Ozx)(Ozx) là các mặt phẳng toạ độ.

Với mọi điểm MM, tồn tại duy nhất bộ ba số (x;y;z)(x;y;z) sao cho

OM→=xi⃗+yj⃗+zk⃗.\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k.

Ba số x,y,zx,y,z gọi là toạ độ của điểm MM (hoành độ, tung độ, cao độ), kí hiệu M(x;y;z)M(x;y;z).

Lưu ý

Với M(x;y;z)M(x;y;z): hình chiếu vuông góc của MM trên các trục OxOx, OyOy, OzOz lần lượt là (x;0;0)(x;0;0), (0;y;0)(0;y;0), (0;0;z)(0;0;z); trên các mặt phẳng (Oxy)(Oxy), (Oyz)(Oyz), (Ozx)(Ozx) lần lượt là (x;y;0)(x;y;0), (0;y;z)(0;y;z), (x;0;z)(x;0;z).

2. Toạ độ của điểm và của vectơ

Định nghĩa

Cho u⃗=ai⃗+bj⃗+ck⃗\vec u=a\vec i+b\vec j+c\vec k. Ba số a,b,ca,b,c gọi là toạ độ của vectơ u⃗\vec u, viết u⃗=(a;b;c)\vec u=(a;b;c). Toạ độ của u⃗\vec u chính là toạ độ của điểm MM sao cho OM→=u⃗\overrightarrow{OM}=\vec u.

Hai vectơ bằng nhau

u⃗=(a;b;c)\vec u=(a;b;c) và v⃗=(a′;b′;c′)\vec v=(a';b';c') bằng nhau khi và chỉ khi a=a′, b=b′, c=c′a=a',\ b=b',\ c=c'. Vì vậy vectơ được xác định bởi toạ độ của nó, không phụ thuộc vị trí đặt.

Định nghĩa

Cho A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A), B(xB;yB;zB)B(x_B;y_B;z_B). Khi đó

AB→=(xB−xA; yB−yA; zB−zA).\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A).

Độ dài vectơ:

∣AB→∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.

Khoảng cách giữa hai điểm:

AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.
Định nghĩa

Cho u⃗=(a;b;c)\vec u=(a;b;c), v⃗=(a′;b′;c′)\vec v=(a';b';c'), số thực kk. Khi đó

u⃗+v⃗=(a+a′; b+b′; c+c′),ku⃗=(ka; kb; kc).\vec u+\vec v=(a+a';\ b+b';\ c+c'),\quad k\vec u=(ka;\ kb;\ kc).
Lưu ý

Trung điểm II của đoạn ABAB có toạ độ

I(xA+xB2; yA+yB2; zA+zB2).I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\ \frac{y_A+y_B}{2};\ \frac{z_A+z_B}{2}\right).
Định nghĩa

Cho u⃗=(a;b;c)\vec u=(a;b;c) với u⃗≠0⃗\vec u\ne \vec 0. Gọi α,β,γ\alpha,\beta,\gamma là các góc hợp bởi vectơ u⃗\vec u và các tia Ox,Oy,OzOx,Oy,Oz. Khi đó

cos⁡α=a∣u⃗∣,cos⁡β=b∣u⃗∣,cos⁡γ=c∣u⃗∣,\cos\alpha=\frac{a}{|\vec u|},\quad \cos\beta=\frac{b}{|\vec u|},\quad \cos\gamma=\frac{c}{|\vec u|},

với ∣u⃗∣=a2+b2+c2|\vec u|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}, và

cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1.\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.
Lưu ý
  • u⃗≠0⃗\vec u\ne \vec 0 có cos⁡α=1\cos\alpha=1 thì u⃗\vec u cùng hướng với i⃗\vec i.
  • u⃗≠0⃗\vec u\ne \vec 0 có cos⁡α=cos⁡β=0\cos\alpha=\cos\beta=0 thì u⃗=(0;0;c)\vec u=(0;0;c), tức u⃗\vec u cùng phương với OzOz.
  • Với u⃗≠0⃗\vec u\ne \vec 0, cos⁡α=0⇔a=0\cos\alpha=0\Leftrightarrow a=0, tức u⃗\vec u vuông góc với OxOx.

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Cho A(1;−2;3)A(1;-2;3) và B(4;0;−5)B(4;0;-5). Tính toạ độ vectơ AB→\overrightarrow{AB}, độ dài ABAB và toạ độ trung điểm II của ABAB.

Lời giải · 3 bước

Ta có

AB→=(4−1; 0−(−2); −5−3)=(3;2;−8).\overrightarrow{AB}=(4-1;\ 0-(-2);\ -5-3)=(3;2;-8).
Bước 2

Suy ra

AB=32+22+(−8)2=9+4+64=77.AB=\sqrt{3^2+2^2+(-8)^2}=\sqrt{9+4+64}=\sqrt{77}.
Bước 3

Trung điểm:

I(1+42; −2+02; 3+(−5)2)=(52; −1; −1).I\left(\frac{1+4}{2};\ \frac{-2+0}{2};\ \frac{3+(-5)}{2}\right)=\left(\frac{5}{2};\ -1;\ -1\right).
Ví dụ 2

Trong không gian OxyzOxyz, cho a⃗=(2;−1;3)\vec a=(2;-1;3) và b⃗=(−4;5;1)\vec b=(-4;5;1). Tính 2a⃗−b⃗2\vec a-\vec b và độ dài của vectơ đó.

Lời giải · 3 bước

Ta có

2a⃗=(4;−2;6).2\vec a=(4;-2;6).
Bước 2

Do đó

2a⃗−b⃗=(4−(−4); −2−5; 6−1)=(8;−7;5).2\vec a-\vec b=(4-(-4);\ -2-5;\ 6-1)=(8;-7;5).
Bước 3

Độ dài:

∣2a⃗−b⃗∣=82+(−7)2+52=64+49+25=138.|2\vec a-\vec b|=\sqrt{8^2+(-7)^2+5^2}=\sqrt{64+49+25}=\sqrt{138}.
Ví dụ 3

Vectơ u⃗=(1;2;−2)\vec u=(1;2;-2). Tìm cosin của các góc hợp với các trục toạ độ.

Lời giải · 2 bước

Ta có ∣u⃗∣=12+22+(−2)2=9=3|\vec u|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3. Vậy

cos⁡α=13,cos⁡β=23,cos⁡γ=−23.\cos\alpha=\frac{1}{3},\quad \cos\beta=\frac{2}{3},\quad \cos\gamma=\frac{-2}{3}.
Bước 2

Kiểm tra:

cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=19+49+49=1.\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=1.
Ví dụ 4

Cho A(2;3;−1)A(2;3;-1). Tìm điểm BB sao cho I(−1;4;5)I(-1;4;5) là trung điểm của ABAB.

Lời giải · 3 bước

Gọi B(x;y;z)B(x;y;z). Vì II là trung điểm của ABAB nên

2+x2=−1;3+y2=4;−1+z2=5.\frac{2+x}{2}=-1;\quad \frac{3+y}{2}=4;\quad \frac{-1+z}{2}=5.
Bước 2

Suy ra

x=−4,y=5,z=11.x=-4,\quad y=5,\quad z=11.
Bước 3

Vậy B(−4;5;11)B(-4;5;11).

Ví dụ 5

Một máy bay cách sân bay 55 km theo phương Đông, 1212 km theo phương Bắc và lên cao 33 km. Tính khoảng cách từ máy bay đến sân bay, coi sân bay là gốc toạ độ.

Lời giải

Lấy gốc toạ độ tại sân bay, các trục lần lượt chỉ phương Đông, Bắc và lên cao. Khi đó M(5;12;3)M(5;12;3). Khoảng cách đến sân bay chính là OMOM:

OM=52+122+32=25+144+9=178≈13,34 km.OM=\sqrt{5^2+12^2+3^2}=\sqrt{25+144+9}=\sqrt{178}\approx 13{,}34\ \text{km}.
Gặp bài khó? Chụp ảnh để CEAO giảiAI giải từng bước, đề kiểm tra theo bài, thẻ ghi nhớ. Đăng ký miễn phí.
Thử ngay