Bài 6. Vectơ trong không gian – Tóm tắt Toán 12

1. Vectơ trong không gian

Trong thực tế có những đại lượng vừa có độ lớn vừa có hướng, ví dụ lực tác dụng lên vật, vận tốc chuyển động của một chất điểm.

Định nghĩa

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Cho hai điểm $A$ và $B$ , ta gọi $\overrightarrow{AB}$ là vectơ có điểm đầu $A$ , điểm cuối $B$ . Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là khoảng cách $AB$ , kí hiệu $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ . Vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối gọi là vectơ-không, kí hiệu $\vec{0}$ .

Định nghĩa

Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Lưu ý

Trong không gian, vectơ được hiểu theo nghĩa tự do: chỉ cần có cùng phương, chiều và độ dài là các vectơ bằng nhau, dù được đặt ở những vị trí khác nhau. Do đó

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}

khi và chỉ khi tứ giác $ABDC$ là hình bình hành (với $A$ , $B$ , $C$ , $D$ không thẳng hàng). Với mỗi điểm $O$ và vectơ $\vec{a}$ cho trước, có duy nhất điểm $A$ sao cho $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ .

2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Quy tắc ba điểm.

Với ba điểm $A$ , $B$ , $C$ bất kì ta có

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

Quy tắc hình bình hành.

Cho hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ . Lấy điểm $O$ sao cho $\overrightarrow{OA}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{OB}=\vec{v}$ ; dựng hình bình hành $OACB$ . Khi đó

\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{OC}.

Quy tắc hình hộp.

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khi đó

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}.

Phép cộng vectơ có các tính chất:

$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ (giao hoán).
$(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$ (kết hợp).
$\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$ .
$\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$ , trong đó $-\vec{u}$ là vectơ đối của $\vec{u}$ .

Định nghĩa

Hiệu của hai vectơ được định nghĩa bởi

\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v}),

trong đó $-\vec{v}$ là vectơ đối của $\vec{v}$ . Với ba điểm $O$ , $A$ , $B$ bất kì: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$ .

3. Tích của vectơ với một số

Định nghĩa

Cho số thực $k$ và vectơ $\vec{u}\ne \vec{0}$ . Tích $k\vec{u}$ của số $k$ với vectơ $\vec{u}$ là vectơ:

có cùng hướng với $\vec{u}$ nếu $k>0$ , ngược hướng với $\vec{u}$ nếu $k<0$ ;
có độ dài bằng $|k|\cdot \left|\vec{u}\right|$ .

Nếu $\vec{u}=\vec{0}$ hoặc $k=0$ thì $k\vec{u}=\vec{0}$ .

Tính chất cơ bản của phép nhân vectơ với số:

k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v};

(k+l)\vec{u}=k\vec{u}+l\vec{u};\quad k(l\vec{u})=(kl)\vec{u}.

Ngoài ra, $1\cdot \vec{u}=\vec{u}$ .

4. Hai định lí thường dùng

Trung điểm của đoạn thẳng.

$I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ . Khi đó $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và với mọi điểm $M$ :

\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}.

Định lí trọng tâm tam giác.

Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì

\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}.

Ngược lại, nếu điểm $G$ thỏa mãn đẳng thức trên thì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Với mọi điểm $M$ : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ .

Lưu ý

Với $G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$ , điểm $G$ nằm trên mỗi trung tuyến và chia nó thành hai phần theo tỉ số $2:1$ , tính từ đỉnh. Nếu $M$ là trung điểm của $BC$ thì

\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.

5. Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa

Cho hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ . Lấy điểm $O$ và các điểm $A$ , $B$ sao cho $\overrightarrow{OA}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{OB}=\vec{v}$ . Góc $\widehat{AOB}$ (từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ ) gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ , kí hiệu $(\vec{u},\vec{v})$ .

Tích vô hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là số

\vec{u}\cdot\vec{v}=\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|\cdot\cos(\vec{u},\vec{v}).

Nếu $\vec{u}=\vec{0}$ hoặc $\vec{v}=\vec{0}$ thì quy ước $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ .

$\vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ (với $\vec{u}$ , $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ ); $\vec{u}^{\,2}=\left|\vec{u}\right|^2$ .
$\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}$ (với $\vec{u}$ , $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ ).
Tính chất: $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ ; $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$ ; $(k\vec{u})\cdot\vec{v}=k(\vec{u}\cdot\vec{v})$ .

6. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Một người đi từ $A$ đến $B$ , sau đó từ $B$ đến $C$ , rồi từ $C$ trở về $A$ . Tính tổng ba vectơ dịch chuyển.

Lời giải · 3 bước

Ba vectơ dịch chuyển là $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CA}$ . Theo quy tắc ba điểm,

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

Bước 2

Mà $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$ , do đó

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC} =\vec{0}.

Bước 3

Vậy tổng các vectơ dịch chuyển của một hành trình khép kín là vectơ-không.

Ví dụ 2

Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ . Chứng minh rằng

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.

Lời giải · 3 bước

Áp dụng quy tắc ba điểm:

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM},

\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}.

Bước 2

Cộng vế theo vế hai đẳng thức:

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM} =2\overrightarrow{AM}.

Bước 3

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{CM}$ ngược hướng, cùng độ dài, nên $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}$ . Suy ra

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.

Ví dụ 3

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và $M$ là trung điểm của $BC$ . Tính $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AM}$ ; tính $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$ .

Lời giải · 3 bước

Vì $G$ là trọng tâm nên

\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.

Bước 2

Theo định lí trọng tâm,

\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}.

Bước 3

Do đó

\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{CG}.

Ví dụ 4

Cho vectơ $\vec{u}\ne \vec{0}$ . Viết vectơ cùng hướng với $\vec{u}$ và có độ dài gấp $2{,}5$ lần độ dài của $\vec{u}$ .

Lời giải · 2 bước

Vectơ cần tìm là

2{,}5\vec{u}.

Bước 2

Vì $2{,}5>0$ nên vectơ này cùng hướng với $\vec{u}$ ; đồng thời

\left|2{,}5\vec{u}\right|=\left|2{,}5\right|\cdot\left|\vec{u}\right|=2{,}5\left|\vec{u}\right|.

Ví dụ 5

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'C'}$ .

Lời giải

Vì $\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{AC}$ nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'C'})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=45^\circ$ . Do $AC=a\sqrt2$ ,

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'C'}=a\cdot a\sqrt2\cdot\cos45^\circ=a^2.

Câu hỏi 1

Cho hình bình hành $MNPQ$ . Chứng minh rằng

\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MP}.

Gợi ý trả lời

Vì $MNPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}$ . Do đó $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$ (quy tắc ba điểm).

Nhớ nhanh

1. Vectơ trong không gian

2. Tổng và hiệu của hai vectơ

3. Tích của vectơ với một số

4. Hai định lí thường dùng

5. Tích vô hướng của hai vectơ

6. Ví dụ minh hoạ