Toán 12 · Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Đạo hàm là tốc độ thay đổi của một đại lượng; dùng đạo hàm để giải các bài toán tối ưu: chọn kích thước, sản lượng, mức giá nào để lợi ích lớn nhất.
Nhớ nhanh
f′(x0) là tốc độ thay đổi tức thời của y=f(x) tại x0: vận tốc v=s′, gia tốc a=v′, chi phí biên C′(x).
Hệ số co giãn của y=f(x) theo x: εyx=yxy′. Nếu x biến đổi 1% thì y biến đổi xấp xỉ εyx%.
Hệ số co giãn của cầu: ED=QPQ′; thường lấy εD=∣ED∣.
εD<1: cầu kém co giãn; εD>1: cầu co giãn mạnh; εD=1: giá tăng 1%, lượng cầu giảm khoảng 1%.
Bài toán tối ưu thực tiễn: chọn ẩn → lập hàm số → tìm điều kiện của ẩn → dùng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất → kết luận trong hoàn cảnh thực tế.
Nếu trên khoảng K hàm số liên tục và chỉ có một điểm cực trị x0 là điểm cực đại thì f(x0) là giá trị lớn nhất của hàm số trên K.
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
Định nghĩa
Nếu đại lượng y phụ thuộc đại lượng x theo hàm số y=f(x) thì đạo hàm f′(x0) là tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại x=x0.
Vật lí: nếu s=s(t) là phương trình chuyển động thì v(t)=s′(t) là vận tốc tức thời, a(t)=v′(t) là gia tốc tức thời.
Kinh tế: nếu C(x) là tổng chi phí sản xuất x đơn vị hàng thì C′(x) gọi là chi phí biên; nó xấp xỉ chi phí để sản xuất thêm một đơn vị khi đã sản xuất x đơn vị: C(x+1)−C(x)≈C′(x).
Ví dụ 1
Một vật chuyển động có phương trình s(t)=t3−6t2+9t (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc và gia tốc của vật tại t=2.
Lời giải
v(t)=s′(t)=3t2−12t+9, a(t)=v′(t)=6t−12. Tại t=2: v(2)=12−24+9=−3 (m/s), a(2)=0 (m/s2).
Luyện phần này 0/4
Câu 1.Nhận biết Một vật chuyển động theo phương trình s=s(t), trong đó t là thời gian và s là quãng đường đi được. Vận tốc tức thời v(t) của vật tại thời điểm t được tính bằng công thức nào sau đây?
Theo ý nghĩa vật lí của đạo hàm, vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm bậc nhất của quãng đường theo thời gian: v(t)=s′(t).
Câu 2.Thông hiểu Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t)=t3−3t2+5t+2 (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t=3 giây bằng:
Ta có hàm vận tốc tức thời là v(t)=s′(t)=3t2−6t+5. Tại t=3 giây: v(3)=3⋅32−6⋅3+5=14 (m/s).
Câu 3.Thông hiểu Tổng chi phí để sản xuất x đơn vị hàng hóa của một xưởng được cho bởi hàm số C(x)=x2+30x+500 (nghìn đồng). Chi phí biên tại mức sản lượng x=20 đơn vị hàng hóa là:
Hàm chi phí biên là C′(x)=2x+30. Tại mức sản lượng x=20, chi phí biên là C′(20)=2⋅20+30=70 (nghìn đồng).
Câu 4.Vận dụng Một vật chuyển động thẳng có phương trình s(t)=t3−9t2+24t+1 (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc của vật bằng 0.
Ta có v(t)=s′(t)=3t2−18t+24 và gia tốc a(t)=v′(t)=6t−18. Khi a(t)=0⟺6t−18=0⟺t=3 giây. Vận tốc của vật lúc đó là v(3)=3⋅32−18⋅3+24=−3 (m/s).
Trong thực tiễn, người ta thường quan tâm đến sự biến thiên tương đối của một đại lượng. Ví dụ: giá xăng tăng từ 20 000 đồng lên 21 000 đồng (tăng 1 000 đồng) chưa nói lên nhiều điều; nhưng nếu biết đó là mức tăng 5% thì mới đánh giá được mức độ ảnh hưởng.
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K, với f(x)=0, x=0. Khi x thay đổi một lượng Δx thì y thay đổi Δy=f(x+Δx)−f(x).
Định nghĩa
Tỉ số giữa biến thiên tương đối của y và biến thiên tương đối của x tại điểm x, tức là
εyx=Δx→0limxΔxyΔy=f(x)f′(x)⋅x=yxy′,
được gọi là hệ số co giãn (hay tính co giãn) của hàm số y=f(x) theo biến x tại điểm x.
Lưu ý
Trong thực tiễn, do Δx nhỏ nên người ta dùng xấp xỉ:
yΔy≈εyx⋅xΔx.
Nói cách khác, nếu x biến đổi 1% thì y biến đổi xấp xỉ εyx% theo cùng chiều (nếu εyx>0) hoặc ngược chiều (nếu εyx<0).
2.1 Hệ số co giãn của cầu theo giá
Trong kinh tế học, người ta lập hàm số biểu thị lượng cầu theo giá cả. Gọi Q=f(P) là hàm cầu, trong đó P là giá cả một đơn vị hàng hoá, Q là lượng hàng hoá mà người mua muốn mua ở mức giá P (lượng cầu).
Định nghĩa
Hệ số co giãn của quy luật cầu theo giá là
ED=QP⋅dPdQ=QPQ′.
Vì hàm cầu thường nghịch biến (giá càng cao thì lượng cầu càng giảm) nên ED<0. Người ta thường lấy giá trị tuyệt đối:
εD=∣ED∣.
Lưu ý
Nếu εD<1: nói rằng cầu kém co giãn. Khi giá tăng 1% thì lượng cầu giảm ít hơn 1%.
Nếu εD>1: cầu co giãn mạnh. Khi giá tăng 1% thì lượng cầu giảm nhiều hơn 1%.
Nếu εD=1: giá tăng 1% thì lượng cầu giảm khoảng 1%.
Luyện phần này 0/4
Câu 1.Nhận biết Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên khoảng K, với f(x)=0,x=0. Hệ số co giãn εyx của hàm số y=f(x) theo biến x tại điểm x được xác định bởi công thức nào?
Theo định nghĩa, hệ số co giãn của hàm số y=f(x) theo biến x tại điểm x là εyx=f(x)f′(x)⋅x=yx⋅y′.
Câu 3.Thông hiểu Một mặt hàng có hàm cầu là Q=900−2P, trong đó P là giá bán (nghìn đồng/sản phẩm) và Q là lượng cầu (sản phẩm), với 0<P<450. Tại mức giá P=150, giá trị εD=∣ED∣ bằng:
Ta có Q′(P)=−2. Tại P=150, lượng cầu là Q(150)=900−300=600. Khi đó ED=QP⋅Q′=600150⋅(−2)=−0,5, suy ra εD=∣ED∣=0,5.
Câu 4.Vận dụng Một mặt hàng có quy luật cầu là Q=800−4P (0<P<200). Tìm khoảng giá P để cầu đối với mặt hàng này là co giãn mạnh (tức là εD>1).
Ta có Q′(P)=−4 nên ED=800−4PP(−4)=200−P−P. Với 0<P<200, ta có εD=∣ED∣=200−PP. Cầu co giãn mạnh khi εD>1⟺200−PP>1⟺P>200−P⟺P>100. Kết hợp điều kiện, ta được 100<P<200.
3. Phương pháp giải bài toán tối ưu trong thực tiễn
Rất nhiều bài toán thực tiễn (hình học, kinh tế) được qui về tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số. Các bước thường làm:
Các bước cần nhớ
1.
Chọn ẩn số phù hợp; dựa điều kiện thực tế để viết quan hệ giữa các đại lượng.
2.
Lập hàm số cần tối ưu (diện tích, thể tích, chi phí, lợi nhuận,...) theo ẩn đã chọn.
3.
Xác định tập xác định của hàm số từ điều kiện thực tế (độ dài, diện tích, số lượng,... phải dương).
4.
Tính đạo hàm; giải phương trình f′(x)=0; xét dấu của f′ (có thể dùng bảng biến thiên) để tìm điểm cực trị.
5.
So sánh với giá trị tại các điểm mút (nếu cần) rồi kết luận giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.
Luyện phần này 0/4
Câu 1.Nhận biết Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng K và có duy nhất một điểm cực trị x0∈K mà x0 là điểm cực đại thì khẳng định nào sau đây là đúng?
Theo tính chất cực trị trên một khoảng, nếu hàm số liên tục trên khoảng K và chỉ có một điểm cực trị duy nhất x0 là điểm cực đại thì f(x0) chính là giá trị lớn nhất của hàm số trên K.
Câu 3.Thông hiểu Người ta dùng 120 m lưới thép để rào ba cạnh của một khu vườn hình chữ nhật, cạnh thứ tư là bờ tường có sẵn (không cần rào). Diện tích lớn nhất của khu vườn có thể rào được là:
Gọi chiều rộng vuông góc với bờ tường là x (m) (0<x<60), thì chiều dài song song với bờ tường là 120−2x (m). Diện tích S(x)=x(120−2x)=120x−2x2. Ta có S′(x)=120−4x=0⟺x=30. Diện tích lớn nhất là S(30)=30⋅60=1800 m2.
Câu 4.Vận dụng Một cơ sở sản xuất q sản phẩm với tổng chi phí là C(q)=q2+30q+400 (nghìn đồng) và giá bán mỗi sản phẩm là p=150−2q (nghìn đồng). Sản lượng q để cơ sở thu được lợi nhuận lớn nhất là:
Doanh thu là R(q)=pq=(150−2q)q=150q−2q2. Hàm lợi nhuận là L(q)=R(q)−C(q)=−3q2+120q−400 với 0<q<75. Ta có L′(q)=−6q+120=0⟺q=20. Lập bảng biến thiên suy ra lợi nhuận đạt lớn nhất khi q=20 sản phẩm.
Cho hàm số y=f(x)=x4+3x. Tính hệ số co giãn của y theo x tại điểm x=1.
Lời giải · 3 bước
Ta có
y′=4x3+3,y(1)=14+3⋅1=4,y′(1)=4⋅13+3=7.
Bước 2
Vậy
εyx(1)=yxy′x=1=41⋅7=47=1,75.
Bước 3
Nhận xét: tại x=1, nếu x tăng 1% thì y tăng khoảng 1,75%.
Ví dụ 3
Một mặt hàng có quy luật cầu là Q=1200−3P, trong đó P là giá bán (nghìn đồng/sản phẩm) và Q là lượng cầu (sản phẩm), 0<P<400. Tính hệ số co giãn của cầu tại P=200.
Lời giải · 3 bước
Ta có Q=1200−3P nên dPdQ=−3. Tại P=200:
Q(200)=1200−600=600.
Bước 2
Do đó
ED=QP⋅dPdQ=600200⋅(−3)=−1.
Bước 3
Suy ra εD=∣ED∣=1. Vậy tại mức giá 200 nghìn đồng, nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm khoảng 1%.
Ví dụ 4
Người ta dùng 240 m hàng rào để làm một khu đất hình chữ nhật, được chia làm hai khu bằng hàng rào song song với chiều rộng. Hỏi nên chọn chiều dài, chiều rộng bao nhiêu để diện tích khu đất là lớn nhất?
Lời giải · 5 bước
Gọi chiều rộng là x (mét), chiều dài là y (mét), với x>0, y>0. Tổng chiều dài hàng rào gồm hai cạnh rộng, hai cạnh dài và một hàng rào ngăn song song với chiều rộng:
3x+2y=240⇒y=120−23x.
Bước 2
Điều kiện y>0 cho 0<x<80. Diện tích khu đất:
S=xy=x(120−23x)=120x−23x2.
Bước 3
Khi đó
S′(x)=120−3x=0⟺x=40.
Bước 4
Từ bảng biến thiên, S đạt giá trị lớn nhất tại x=40. Khi đó
y=120−23⋅40=60.
Bước 5
Vậy nên chọn chiều rộng 40 m, chiều dài 60 m; diện tích lớn nhất là
Smax=40⋅60=2400m2.
Ví dụ 5
Một cơ sở sản xuất, khi sản xuất q sản phẩm thì tổng chi phí là C(q)=q2+20q+300 (nghìn đồng). Giá bán mỗi sản phẩm là p=200−2q (nghìn đồng). Tìm sản lượng q để lợi nhuận đạt lớn nhất.
Lời giải · 5 bước
Doanh thu khi bán q sản phẩm là
R(q)=pq=(200−2q)q=200q−2q2.
Bước 2
Lợi nhuận là
L(q)=R(q)−C(q)=200q−2q2−q2−20q−300=180q−3q2−300.
Bước 3
Điều kiện thực tế: q>0 và giá bán p=200−2q>0, suy ra 0<q<100. Ta có
L′(q)=180−6q=0⟺q=30.
Bước 4
Từ bảng biến thiên, L đạt giá trị lớn nhất tại q=30:
L(30)=180⋅30−3⋅302−300=2400(nghıˋn đoˆˋng).
Bước 5
Vậy khi sản xuất 30 sản phẩm thì lợi nhuận lớn nhất, bằng 2400000 đồng; lúc này giá bán mỗi sản phẩm là 140000 đồng.
Luyện theo dạng đề tốt nghiệp 0/8
Phần I · Trắc nghiệm
Câu 1.Thông hiểu Một vật chuyển động theo quy luật s(t)=−21t3+6t2+10 (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong quá trình chuyển động là:
Hàm vận tốc là v(t)=s′(t)=−23t2+12t (t≥0). Ta có v′(t)=−3t+12=0⟺t=4. Vậy vận tốc lớn nhất của vật là v(4)=−23⋅16+12⋅4=24 (m/s).
Câu 2.Thông hiểu Biết hàm số y=f(x) có hệ số co giãn theo biến x tại điểm x0 bằng εyx(x0)=−2,5. Nếu tại x0, giá trị của x tăng thêm 1% thì giá trị của y thay đổi xấp xỉ như thế nào?
Theo ý nghĩa của hệ số co giãn, khi x tăng 1% thì y biến đổi xấp xỉ εyx%. Vì εyx(x0)=−2,5<0 nên y biến đổi ngược chiều, tức là giảm khoảng 2,5%.
Câu 3.Vận dụng Người ta dùng 300 m hàng rào để rào một khu đất hình chữ nhật và chia khu đất đó thành hai phần bằng một hàng rào ngăn ở giữa song song với chiều rộng. Diện tích lớn nhất của khu đất hình chữ nhật đó bằng:
Gọi chiều rộng là x (m) và chiều dài là y (m) (x,y>0). Tổng chiều dài hàng rào là 3x+2y=300⇒y=150−23x (0<x<100). Diện tích khu đất là S(x)=xy=150x−23x2, có S′(x)=150−3x=0⟺x=50. Vậy diện tích lớn nhất là S(50)=50⋅75=3750 m2.
Câu 4.Vận dụng Một mặt hàng có hàm cầu là Q=600−2P (0<P<300, P tính bằng nghìn đồng). Tại mức giá P bằng bao nhiêu thì khi giá tăng 1%, lượng cầu giảm xấp xỉ 1% (tức là εD=1)?
Ta có Q′(P)=−2, nên εD=∣ED∣=600−2PP(−2)=300−PP. Để εD=1⟺300−PP=1⟺P=150 (nghìn đồng).
Câu 5.Thông hiểu Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s(t)=t3−6t2+9t+4 (t≥0, t tính bằng giây, s tính bằng mét). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là v(t)=3t2−12t+9 (m/s).
b) b) Tại thời điểm t=2 giây, chất điểm đang đứng yên.
c) c) Gia tốc tức thời của chất điểm bằng 0 tại thời điểm t=2 giây.
d) d) Trong khoảng thời gian từ t=1 giây đến t=3 giây, vận tốc tức thời của chất điểm luôn dương.
a) Đúng vì v(t)=s′(t)=3t2−12t+9. b) Sai vì tại t=2, v(2)=12−24+9=−3 m/s=0 (chất điểm đứng yên khi v(t)=0⟺t=1 hoặc t=3). c) Đúng vì a(t)=v′(t)=6t−12=0⟺t=2 giây. d) Sai vì với t∈(1;3) thì v(t)=3(t−1)(t−3)<0, tức là vận tốc tức thời âm.
Câu 6.Vận dụng Một hộ sản xuất kinh doanh mỗi ngày làm ra x sản phẩm (1≤x≤40) với tổng chi phí là C(x)=x2+20x+100 (nghìn đồng). Giá bán mỗi sản phẩm là p(x)=140−2x (nghìn đồng). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) a) Chi phí biên tại mức sản lượng x là C′(x)=2x+20 (nghìn đồng).
b) b) Hàm doanh thu khi bán hết x sản phẩm là R(x)=140x−x2 (nghìn đồng).
c) c) Lợi nhuận thu được đạt giá trị lớn nhất khi sản xuất x=20 sản phẩm mỗi ngày.
d) d) Lợi nhuận lớn nhất mỗi ngày của hộ sản xuất là 1200 nghìn đồng.
a) Đúng vì C′(x)=(x2+20x+100)′=2x+20. b) Sai vì doanh thu là R(x)=x⋅p(x)=x(140−2x)=140x−2x2. c) Đúng vì hàm lợi nhuận là L(x)=R(x)−C(x)=−3x2+120x−100, có L′(x)=−6x+120=0⟺x=20. d) Sai vì lợi nhuận lớn nhất là L(20)=−3⋅202+120⋅20−100=1100 (nghìn đồng).
Câu 8.Vận dụng Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 8 dm×5 dm, người ta cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau có cạnh x (dm) ở bốn góc rồi gập lên thành một hình hộp chữ nhật không nắp. Tìm giá trị của x để thể tích chiếc hộp thu được là lớn nhất.
Điều kiện 0<x<2,5. Thể tích hộp là V(x)=x(8−2x)(5−2x)=4x3−26x2+40x. Ta có V′(x)=12x2−52x+40=0⟺x=1 (nhận) hoặc x=310 (loại vì 310>2,5). Lập bảng biến thiên trên (0;2,5) suy ra V(x) đạt lớn nhất khi x=1.
