Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiệm cận đứng là $x = 2$, tiệm cận ngang là $y = 3$, nên tâm đối xứng là điểm $(2; 3)$.

Hàm số đa thức bậc ba xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, đồng thời $\lim\limits_{x \to \pm\infty} y$ và $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{y}{x}$ đều không hữu hạn nên đồ thị không có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.

Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Ta có $y' = 1 - \dfrac{4}{x^2} = 0 \iff x = \pm 2$. Đồ thị có điểm cực đại $A(-2; -4)$ và điểm cực tiểu $B(2; 4)$. Khoảng cách $AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

Ta phân tích $f(x) = x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)$. Vì $(x - 1)^2 \ge 0$ với mọi $x$ và chỉ bằng $0$ tại $x = 1$ nên $f(x) > 0 \iff x + 2 > 0$ và $x \ne 1$, tức là $x \in (-2; 1) \cup (1; +\infty)$.

a) Đúng vì hàm đa thức có $D = \mathbb{R}$ và $f(0) = 1$. b) Sai vì $f'(x) = 3x^2 - 3 < 0$ trên $(-1; 1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(-1; 1)$. c) Đúng vì $f''(x) = 6x = 0 \iff x = 0$ và $f(0) = 1$. d) Sai vì $y_{\text{CĐ}} = f(-1) = 3$ và $y_{\text{CT}} = f(1) = -1$, nên đường thẳng $y = 3$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại $(-1; 3)$ và cắt nhánh còn lại tại $1$ điểm, tổng cộng chỉ có $2$ giao điểm.

a) Đúng vì điều kiện xác định là $x - 1 \ne 0 \iff x \ne 1$. b) Sai vì $y = x + \dfrac{1}{x - 1}$ có $y' = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^2} = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$, nên hàm số có hai điểm cực trị là $x = 0$ và $x = 2$. c) Đúng vì $\lim\limits_{x \to 1^+} y = +\infty$ và $\lim\limits_{x \to \pm\infty} (y - x) = 0$. d) Sai vì $y_{\text{CĐ}} = f(0) = -1$ và $y_{\text{CT}} = f(2) = 3$, nên với $-1 < m < 3$ đường thẳng $y = m$ không cắt đồ thị $(C)$.

Ta có $y' = 3x^2 - 6x$, $y'' = 6x - 6 = 0 \iff x = 1$. Thay $x = 1$ vào hàm số được $y(1) = 0$, nên tâm đối xứng là $I(1; 0)$. Vậy $a + b = 1 + 0 = 1$.

Xét hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ có $f'(x) = 3x^2 - 6x = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$. Ta có $y_{\text{CĐ}} = f(0) = 4$ và $y_{\text{CT}} = f(2) = 0$. Phương trình có $3$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $0 < m < 4$. Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{1; 2; 3\}$, có $3$ giá trị nguyên.