Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Theo định nghĩa, vì $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$ và $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -3$ nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là $y = 3$ và $y = -3$.

Ta có $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{3x + 2}{x - 4} = 3$, nên đường thẳng $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Xét hàm số $y = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3}$ có $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3} = 2$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y = 2$. Các hàm đa thức và hàm phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu ở B, C, D không có tiệm cận ngang.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Khi $x \to +\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x - 1}{x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} = 2$. Khi $x \to -\infty$, vì $\sqrt{x^2 + 4} = -x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}$ nên $\lim\limits_{x \to -\infty} y = -2$. Vậy đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận ngang là $y = 2$ và $y = -2$.

Theo định nghĩa, vì $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$ nên đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$. Ta có $\lim\limits_{x \to (-3)^+} \dfrac{4x - 1}{x + 3} = -\infty$, suy ra $x = -3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mẫu thức $x^2 - 9 = 0 \iff x = 3$ hoặc $x = -3$ (cả hai đều không là nghiệm của tử thức $x + 5$). Tại $x = 3$ và $x = -3$ giới hạn một phía của hàm số đều ra vô cực nên đồ thị có $2$ đường tiệm cận đứng là $x = 3$ và $x = -3$.

Với $x \ne 2, x \ne 3$, ta rút gọn $y = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 3)} = \dfrac{x + 2}{x - 3}$. Vì $\lim\limits_{x \to 2} y = -4$ (hữu hạn) nên $x = 2$ không là tiệm cận đứng; còn $\lim\limits_{x \to 3^+} y = +\infty$ nên chỉ có $x = 3$ là tiệm cận đứng.

Theo định nghĩa, đường thẳng $y = ax + b$ ($a \ne 0$) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ hoặc $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$.

Vì $\lim\limits_{x \to \pm\infty} [y - (2x - 1)] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{3}{x + 2} = 0$ nên đường thẳng $y = 2x - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chia đa thức tử cho mẫu ta được $y = x + 2 + \dfrac{3}{x + 1}$. Vì $\lim\limits_{x \to \pm\infty} [y - (x + 2)] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{3}{x + 1} = 0$ nên tiệm cận xiên là $y = x + 2$.

Chia tử cho mẫu: $y = \dfrac{(2x + 1)(x - 2) + 4}{x - 2} = 2x + 1 + \dfrac{4}{x - 2}$, suy ra tiệm cận xiên là $y = 2x + 1$. Đường thẳng này cắt $Ox$ tại $A\left(-\dfrac{1}{2}; 0\right)$ và cắt $Oy$ tại $B(0; 1)$. Diện tích $\triangle OAB$ là $S = \dfrac{1}{2} OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{4}$.

Theo công thức nhanh cho hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0, ad - bc \ne 0$), tiệm cận đứng là $x = -\dfrac{d}{c}$ và tiệm cận ngang là $y = \dfrac{a}{c}$.

Áp dụng công thức nhanh: tiệm cận đứng là $x = -\dfrac{2}{2} = -1$ và tiệm cận ngang là $y = \dfrac{4}{2} = 2$. Vậy giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ $(-1; 2)$.

Hàm số có dạng $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$ với $a = 2 \ne 0, m = 1 \ne 0$ và tử không chia hết cho mẫu (thay $x = 1$ vào tử được $1 \ne 0$). Do đó đồ thị có $1$ tiệm cận đứng $x = 1$ và $1$ tiệm cận xiên $y = 2x - 3$, tổng cộng là $2$ đường tiệm cận.

Tiệm cận đứng của đồ thị là $x = m - 1$. Vì tiệm cận đứng đi qua $M(2; -5)$ nên $m - 1 = 2 \iff m = 3$. Với $m = 3$, hàm số là $y = \dfrac{5x + 3}{x - 2}$ (thỏa mãn $ad - bc = -13 \ne 0$), có tiệm cận ngang là $y = 5$.