Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – Tóm tắt Toán 12

1. Khái niệm

Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$ .

Số $M$ là giá trị lớn nhất (GTLN) của $f$ trên $D$ nếu $f(x)\le M$ với mọi $x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f(x_0)=M$ . Kí hiệu $M=\max\limits_{D} f(x)$ .
Số $m$ là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $f$ trên $D$ nếu $f(x)\ge m$ với mọi $x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f(x_0)=m$ . Kí hiệu $m=\min\limits_{D} f(x)$ .

Lưu ý

Phải có điểm $x_0$ đạt được giá trị đó. Ví dụ $f(x)=\dfrac{1}{x}$ trên $(0;+\infty)$ luôn có $f(x)>0$ nhưng $0$ không là GTNN vì không có $x$ nào để $f(x)=0$ .
Khi không nói rõ tập $D$ , ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.
GTLN, GTNN là giá trị “toàn cục” trên cả tập $D$ ; còn cực đại, cực tiểu chỉ là giá trị “cục bộ” quanh một điểm.

Luyện phần này 0/4

Câu 1.Nhận biết Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ . Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $D$ nếu:

Câu 2.Thông hiểu Xét hàm số $f(x) = \dfrac{2}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 3.Thông hiểu Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-2; 3]$ và có đạo hàm $f'(x) < 0$ với mọi $x \in (-2; 3)$ . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Câu 4.Vận dụng Tìm tập giá trị $T$ của hàm số $y = \sqrt{9 - x^2}$ .

2. Cách tìm

Trên một khoảng (hoặc tập bất kì)

Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập đó, rồi đọc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) từ bảng.

Định lí.

Hàm số liên tục trên một đoạn $[a;b]$ thì luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Trên đoạn

[a;b]

(hàm số liên tục trên đoạn)

1.
Tìm các điểm $x_1, x_2,\dots$ thuộc khoảng $(a;b)$ tại đó $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không tồn tại.
2.
Tính $f(a)$ , $f(x_1)$ , $f(x_2)$ , …, $f(b)$ .
3.
Số lớn nhất trong các giá trị trên là $\max\limits_{[a;b]} f(x)$ , số nhỏ nhất là $\min\limits_{[a;b]} f(x)$ .

Mẹo nhanh

Nếu $f$ đồng biến trên $[a;b]$ thì $\max f=f(b)$ , $\min f=f(a)$ ; nếu nghịch biến thì ngược lại. Không cần lập bảng.

Kéo thử: dời hai đầu mút $p$ , $q$ của đoạn rồi xem giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đạt tại đâu (đầu mút hay điểm cực trị).

Chủ đề: GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Hàm: y = x^3 - 3x + 1
Tham số: p = 0 (-3..3, bước 0.5)
Tham số: q = 2 (-3..3, bước 0.5)
Đoạn: p..q
Khung: x -3..3, y -4..5
Đọc: đoạn, cực trị
Thử: gtln = 3 và gtnn = -1 | Chọn đoạn [0; 2]: GTLN = 3, GTNN = −1
Thử: xmax = p | Dời đoạn để GTLN đạt tại đầu mút trái
Thử: xmax = -1 và xmin = 1 | Chọn đoạn để GTLN tại x = −1 và GTNN tại x = 1
Thử: gtln = gtnn | Thu đoạn về một điểm

Bật JavaScript để kéo thử đồ thị này.

Luyện phần này 0/4

Câu 1.Nhận biết Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^2 - 4x + 5$ trên đoạn $[0; 3]$ bằng:

Câu 2.Thông hiểu Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ trên đoạn $[0; 4]$ .

Câu 3.Thông hiểu Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ bằng:

Câu 4.Vận dụng Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $18\text{ cm}$ , người ta cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh $x\text{ (cm)}$ rồi gấp lại thành một chiếc hộp chữ nhật không có nắp. Thể tích lớn nhất của chiếc hộp thu được bằng:

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Tìm GTLN, GTNN của hàm số $f(x)=x^3-3x+1$ trên đoạn $[0;2]$ .

Lời giải · 3 bước

$f'(x)=3x^2-3$ ; $f'(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=-1$ . Trên khoảng $(0;2)$ chỉ lấy $x=1$ (loại $x=-1\notin(0;2)$ ).

Bước 2

$f(0)=1$ , $f(1)=-1$ , $f(2)=3$ .

Bước 3

Vậy

\max_{[0;2]} f(x)=3 \text{ khi } x=2;\qquad \min_{[0;2]} f(x)=-1 \text{ khi } x=1.

Ví dụ 2

Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty)$ .

Lời giải · 4 bước

f'(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2};

Bước 2

trên $(0;+\infty)$ : $f'(x)=0\iff x=2$ . Ngoài ra

\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Bước 3

Vậy

\min_{(0;+\infty)} f(x)=f(2)=4;

Bước 4

hàm số không có giá trị lớn nhất trên $(0;+\infty)$ .

Ví dụ 3

Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=\sqrt{4-x^2}$ .

Lời giải · 3 bước

Tập xác định $D=[-2;2]$ . Với $x\in(-2;2)$ :

y'=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}};\qquad y'=0\iff x=0.

Bước 2

$y(-2)=0$ , $y(0)=2$ , $y(2)=0$ . Vậy

\max_{[-2;2]} y=2 \text{ khi } x=0;\qquad \min_{[-2;2]} y=0 \text{ khi } x=\pm2.

Bước 3

(Đồ thị là nửa trên của đường tròn tâm $O$ , bán kính $2$ .)

Ví dụ 4 (Bài toán tối ưu)

Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $12$ cm, người ta cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh $x$ (cm) rồi gấp lại thành một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích hộp lớn nhất.

Lời giải · 3 bước

Đáy hộp là hình vuông cạnh $12-2x$ , chiều cao $x$ , với $0<x<6$ . Thể tích

V(x)=x(12-2x)^2 .

V'(x)=(12-2x)^2-4x(12-2x)=(12-2x)(12-6x).

Bước 2

Trên $(0;6)$ : $V'(x)=0\iff x=2$ .

Bước 3

Thể tích lớn nhất là $V(2)=2\cdot8^2=128$ (cm $^3$ ), khi cắt bốn hình vuông cạnh $x=2$ cm.

Các bước giải bài toán tối ưu thực tế

1.
Chọn đại lượng thay đổi làm biến $x$ ; tìm điều kiện của $x$ theo thực tế.
2.
Biểu diễn đại lượng cần lớn nhất (nhỏ nhất) thành hàm số $f(x)$ .
3.
Tìm GTLN (GTNN) của $f$ trên tập điều kiện; trả lời bằng ngôn ngữ của bài toán, kèm đơn vị.

4. Lỗi hay gặp

Quên loại nghiệm của $f'(x)=0$ không thuộc đoạn đang xét.
Quên tính giá trị tại hai đầu mút $f(a)$ , $f(b)$ .
Lấy giá trị cực đại làm GTLN mà không so sánh với giá trị ở đầu mút.
Kết luận GTLN, GTNN trên một khoảng mở chỉ bằng cách thay đầu mút (đầu mút không thuộc khoảng!).

Luyện theo dạng đề tốt nghiệp 0/8

Phần I · Trắc nghiệm

Câu 1.Thông hiểu Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[-1; 4]$ , có các điểm cực trị tại $x = 1, x = 2$ và các giá trị $f(-1) = 0, f(1) = 4, f(2) = 1, f(4) = 5$ . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 4]$ bằng:

Câu 2.Thông hiểu Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \dfrac{x + 3}{x - 1}$ trên đoạn $[2; 5]$ . Giá trị của tổng $M + m$ bằng:

Câu 3.Vận dụng Tìm giá trị dương của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \dfrac{x - m^2}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng $-\dfrac{2}{3}$ .

Câu 4.Vận dụng Một sợi dây kim loại dài $60\text{ cm}$ được uốn thành một khung hình chữ nhật. Diện tích lớn nhất của khung hình chữ nhật tạo thành bằng:

Phần II · Đúng / sai

Câu 5.Thông hiểu Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ xét trên đoạn $[-1; 3]$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) a) Hàm số liên tục trên đoạn $[-1; 3]$ nên luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn này.
b) b) Phương trình $f'(x) = 0$ chỉ có một nghiệm thuộc khoảng $(-1; 3)$ .
c) c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 3]$ bằng $2$ .
d) d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 3]$ đạt được tại duy nhất điểm $x = 2$ .

Câu 6.Vận dụng Một xưởng in cần làm một trang sách hình chữ nhật sao cho phần chữ in trên trang sách có diện tích bằng $384\text{ cm}^2$ , lề trên và lề dưới đều bằng $3\text{ cm}$ , lề trái và lề phải đều bằng $2\text{ cm}$ . Gọi $x\text{ (cm)}$ là chiều rộng của phần chữ in ( $x > 0$ ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) a) Chiều cao của phần chữ in là $\dfrac{384}{x}\text{ (cm)}$ .
b) b) Diện tích của cả trang sách là $S(x) = (x + 6)\left(\dfrac{384}{x} + 4\right)\text{ (cm}^2\text{)}$ .
c) c) Diện tích trang sách đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = 16\text{ cm}$ .
d) d) Diện tích nhỏ nhất của trang sách bằng $576\text{ cm}^2$ .

Phần III · Trả lời ngắn

Câu 7.Thông hiểu Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = -x^4 + 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ .

Câu 8.Vận dụng Cho hàm số $f(x) = 2x + \dfrac{9}{2x - 1}$ xét trên khoảng $\left(\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$ . Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = x_0$ . Tìm giá trị của $x_0$ .