Toán 12 · Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
Hàm số tăng, giảm ở đâu; đạt cực đại, cực tiểu tại đâu. Công cụ chính: dấu của đạo hàm.
Nhớ nhanh
f′>0 trên khoảng ⇒ đồng biến; f′<0⇒ nghịch biến.
f′ đổi dấu +→−: cực đại; −→+: cực tiểu.
Hàm bậc ba y=ax3+bx2+cx+d: có hai cực trị ⟺y′=0 có hai nghiệm phân biệt; không có cực trị ⟺y′=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Hàm phân thức y=cx+dax+b (c=0, ad−bc=0): luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định, không có cực trị.
Đọc bảng xét dấu hoặc đồ thị của f′: cực trị của f nằm ở chỗ đồ thị f′cắt (không phải tiếp xúc) trục hoành.
1. Tính đơn điệu của hàm số
Trong bài, K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng; hàm số y=f(x) xác định trên K.
Định nghĩa
fđồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1,x2∈K, x1<x2 thì f(x1)<f(x2).
fnghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1,x2∈K, x1<x2 thì f(x1)>f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.
Nhìn đồ thị: đi từ trái sang phải, đồ thị đi lên trên khoảng hàm số đồng biến, đi xuống trên khoảng hàm số nghịch biến.
Định lí (dấu đạo hàm và tính đơn điệu).
Cho f có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu f′(x)>0 với mọi x∈K thì f đồng biến trên K.
Nếu f′(x)<0 với mọi x∈K thì f nghịch biến trên K.
Lưu ý
Nếu f′(x)≥0 (hoặc f′(x)≤0) với mọi x∈K và f′(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm thì f vẫn đồng biến (nghịch biến) trên K. Ví dụ: y=x3 có y′=3x2≥0, chỉ bằng 0 tại x=0, nên đồng biến trên R.
Các bước xét tính đơn điệu
1.
Tìm tập xác định D.
2.
Tính f′(x); tìm các điểm tại đó f′(x)=0 hoặc f′(x) không xác định.
3.
Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên (xét dấu f′).
4.
Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.
Luyện phần này 0/4
Câu 1.Nhận biết Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Phát biểu nào sau đây là đúng?
Theo định lí về dấu đạo hàm và tính đơn điệu, nếu f′(x)<0 với mọi x∈(a;b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b). Phương án C sai vì thiếu điều kiện f′(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm (ví dụ hàm hằng); phương án D sai, ví dụ y=x3 đồng biến trên R nhưng y′(0)=0.
x0 là điểm cực đại của f nếu có một khoảng (a;b)⊂D chứa x0 sao cho f(x)<f(x0) với mọi x∈(a;b), x=x0. Khi đó f(x0) là giá trị cực đại, kí hiệu yCĐ.
x0 là điểm cực tiểu nếu có khoảng (a;b)⊂D chứa x0 sao cho f(x)>f(x0) với mọi x∈(a;b), x=x0. Khi đó f(x0) là giá trị cực tiểu, kí hiệu yCT.
Điểm M(x0;f(x0)) gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của đồ thị. Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Phân biệt ba khái niệm
Điểm cực trị của hàm số: là x0 (một số).
Giá trị cực trị: là f(x0) (một số).
Điểm cực trị của đồ thị: là điểm M(x0;f(x0)) trên mặt phẳng toạ độ.
Giá trị cực đại chỉ là lớn nhất trong một lân cận của x0, nên có thể nhỏ hơn giá trị cực tiểu.
Định lí (dấu hiệu đạo hàm đổi dấu).
Cho f liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0), (x0;b).
Nếu f′ đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại.
Nếu f′ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu.
Các bước tìm cực trị
1.
Tìm tập xác định.
2.
Tính f′(x); tìm các điểm tại đó f′(x)=0 hoặc f′(x) không xác định.
3.
Lập bảng biến thiên.
4.
Kết luận: f′ đổi dấu ở đâu thì có cực trị ở đó.
Lưu ý
f′(x0)=0chưa đủ để x0 là cực trị: y=x3 có y′(0)=0 nhưng y′ không đổi dấu qua 0, nên x=0 không là điểm cực trị.
Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm không có đạo hàm: y=∣x∣ đạt cực tiểu tại x=0.
Kéo thử: đổi các hệ số rồi xem khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị đổi theo thế nào.
Chủ đề: Dấu của y' quyết định đồ thị đi lên hay đi xuống
Hàm: y = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
Tham số: a = 1 (-2..2, bước 1)
Tham số: b = -3 (-6..6, bước 1)
Tham số: c = 0 (-6..6, bước 1)
Tham số: d = 2 (-4..4, bước 1)
Khung: x -4..4, y -6..6
Đọc: đơn điệu, cực trị
Thử: cuctri = 2 | Làm cho hàm số có hai điểm cực trị
Thử: cuctri = 0 và a > 0 | Làm cho hàm số đồng biến trên cả ℝ
Thử: cuctri = 0 và a < 0 | Làm cho hàm số nghịch biến trên cả ℝ
Thử: giaOy = 0 và cuctri = 2 | Đồ thị đi qua gốc toạ độ mà vẫn có hai cực trị
Bật JavaScript để kéo thử đồ thị này.
Luyện phần này 0/4
Câu 1.Nhận biết Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0;b). Nếu f′(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì:
Theo định lí dấu hiệu đạo hàm đổi dấu, khi f′(x) đổi dấu từ âm sang dương qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số (còn f(x0) là giá trị cực tiểu).
Câu 3.Thông hiểu Hàm số y=−x4+4x2−3 có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Tập xác định D=R. Ta có y′=−4x3+8x=−4x(x2−2)=0⟺x=0 hoặc x=±2. Xét dấu y′ từ trái sang phải có dấu +,−,+,−. Vậy y′ đổi dấu từ âm sang dương duy nhất qua x=0, hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 4.Vận dụng Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f′(x)=x2(x−1)(x+2)3(x−3) với mọi x∈R. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Phương trình f′(x)=0 có các nghiệm x=0 (bội chẵn) và x=−2,x=1,x=3 (bội lẻ). Đạo hàm f′(x) chỉ đổi dấu khi đi qua 3 nghiệm bội lẻ nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số y=x3−3x2+2.
Lời giải · 2 bước
Tập xác định D=R. Ta có y′=3x2−6x=3x(x−2); y′=0⟺x=0 hoặc x=2.
Bước 2
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+∞), nghịch biến trên khoảng (0;2). Hàm số đạt cực đại tại x=0, yCĐ=2; đạt cực tiểu tại x=2, yCT=−2.
Ví dụ 2
Xét tính đơn điệu của hàm số y=x−1x+1.
Lời giải · 2 bước
Tập xác định D=R∖{1}. Ta có
y′=(x−1)2(x−1)−(x+1)=(x−1)2−2<0với mọi x=1.
Bước 2
Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞;1) và (1;+∞); hàm số không có cực trị.
Lưu ý
Không viết “nghịch biến trên (−∞;1)∪(1;+∞)” hay “nghịch biến trên R∖{1}”. Chẳng hạn y(0)=−1<y(2)=3 dù 0<2.
Ví dụ 3
Tìm các điểm cực trị của hàm số y=x4−2x2.
Lời giải · 2 bước
Tập xác định D=R. Ta có y′=4x3−4x=4x(x−1)(x+1); y′=0⟺x∈{−1;0;1}.
Bước 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x=−1 và x=1, yCT=−1; đạt cực đại tại x=0, yCĐ=0. Đồ thị có hai điểm cực tiểu (−1;−1), (1;−1) và một điểm cực đại (0;0).
Ví dụ 4
Tìm m để hàm số y=x3−3mx+1 có hai điểm cực trị.
Lời giải
y′=3x2−3m. Hàm bậc ba có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y′=0 có hai nghiệm phân biệt (khi đó y′ đổi dấu qua mỗi nghiệm), tức là x2=m có hai nghiệm phân biệt ⟺m>0.
Ví dụ 5
Một quả bóng được ném lên, độ cao sau t giây là h(t)=−5t2+20t+1 (mét), 0≤t≤4,05. Trong khoảng thời gian nào quả bóng đi lên?
Lời giải
h′(t)=−10t+20; h′(t)>0⟺t<2. Vậy quả bóng đi lên trong 2 giây đầu (khi 0<t<2), đạt độ cao cực đại h(2)=21 m rồi rơi xuống.
Luyện theo dạng đề tốt nghiệp 0/8
Phần I · Trắc nghiệm
Câu 1.Thông hiểu Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (−∞;+∞)?
Hàm số y=x3+3x−1 có tập xác định D=R và đạo hàm y′=3x2+3>0 với mọi x∈R nên đồng biến trên (−∞;+∞).
Câu 2.Thông hiểu Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y=x3−6x2+9x−2 là:
Ta có y′=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)=0⟺x=1 hoặc x=3. Qua x=3, y′ đổi dấu từ âm sang dương nên x=3 là điểm cực tiểu của hàm số và y(3)=−2. Vậy điểm cực tiểu của đồ thị là (3;−2).
Câu 3.Vận dụng Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m so với mặt đất, độ cao của vật sau t giây được cho bởi công thức h(t)=−4,9t2+29,4t+2 (mét), với t≥0. Trong khoảng thời gian nào dưới đây thì vật đang đi lên?
Ta có h′(t)=−9,8t+29,4. Vật đi lên khi h′(t)>0⟺−9,8t+29,4>0⟺t<3. Kết hợp t>0, vật đi lên trong khoảng thời gian (0;3) giây.
Câu 5.Thông hiểu Cho hàm số y=f(x)=−x3+3x+1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) a) Đạo hàm của hàm số đã cho là f′(x)=−3x2+3.
b) b) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;−1) và (1;+∞).
c) c) Hàm số đạt cực đại tại x=1 và giá trị cực đại bằng 3.
d) d) Trên khoảng (−1;1), giá trị của f(x) luôn nhỏ hơn f(−1).
a) Đúng vì f′(x)=−3x2+3. b) Sai vì f′(x)>0⟺−1<x<1, nên hàm số đồng biến trên (−1;1) và nghịch biến trên (−∞;−1), (1;+∞). c) Đúng vì f′(x) đổi dấu từ dương sang âm qua x=1 và f(1)=3. d) Sai vì hàm số đồng biến trên (−1;1) nên với mọi x∈(−1;1) ta có f(x)>f(−1)=−1.
Câu 6.Vận dụng Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên R, có đạo hàm f′(x)=(x+1)(x−2)2(x−4) với mọi x∈R. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) a) Phương trình f′(x)=0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
b) b) Hàm số y=f(x) có 3 điểm cực trị.
c) c) Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (−1;4).
d) d) Ta có f(−1)<f(2)<f(4).
a) Đúng vì f′(x)=0⟺x∈{−1;2;4}. b) Sai vì qua x=2, (x−2)2≥0 không đổi dấu nên f′(x) chỉ đổi dấu qua x=−1 và x=4, hàm số chỉ có 2 điểm cực trị. c) Đúng vì trên (−1;4), f′(x)≤0 và chỉ bằng 0 tại x=2. d) Sai vì hàm số nghịch biến trên [−1;4] nên f(−1)>f(2)>f(4).
