Bài 18. Xác suất có điều kiện – Tóm tắt Toán 12

1. Xác suất có điều kiện

Trong không ít tình huống, ta đã biết một biến cố $A$ đã xảy ra rồi mới muốn đánh giá xác suất xảy ra của biến cố $B$ . Khi đó không gian mẫu được thu hẹp lại còn $A$ và ta dùng xác suất có điều kiện.

Định nghĩa

Gọi $A$ là biến cố có $P(A)>0$ . Xác suất có điều kiện của biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra, kí hiệu $P(B \mid A)$ , được cho bởi công thức

P(B \mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.

Lưu ý

Chỉ xét $P(B \mid A)$ khi $P(A)>0$ .
Nếu các kết quả trong phép thử đồng khả năng thì có thể đếm trực tiếp:

$P(B \mid A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}.$

Các bước tìm xác suất có điều kiện

1.
Xác định hai biến cố $A,B$ ; tính $P(A)$ và $P(A\cap B)$ , hoặc đếm $n(A)$ , $n(A\cap B)$ .
2.
Áp dụng công thức $P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ ; nếu đồng khả năng thì $P(B\mid A)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(A)}$ .
3.
Rút gọn, kết luận theo nghĩa của đề bài.

2. Hai biến cố độc lập

Định nghĩa

Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).

Định lí.

Nếu $P(A)>0$ thì $A$ độc lập với $B$ khi và chỉ khi $P(B\mid A)=P(B)$ .

Nói cách khác, việc biết $A$ đã xảy ra không làm thay đổi xác suất của $B$ .

Tính chất và phân biệt

Nếu $A$ độc lập với $B$ thì $A$ cũng độc lập với $\overline{B}$ ; $\overline{A}$ độc lập với $B$ ; $\overline{A}$ độc lập với $\overline{B}$ .
Độc lập khác xung khắc: hai biến cố xung khắc có xác suất dương thì không độc lập, vì $P(A\cap B)=0$ nhưng $P(A)P(B)>0$ .

3. Công thức nhân xác suất

Từ định nghĩa xác suất có điều kiện suy ra (với $P(A)>0$ , $P(B)>0$ )

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=P(B)\cdot P(A\mid B).

Mở rộng cho $n$ biến cố $A_1,A_2,\dots,A_n$ (với $P(A_1\cap\dots\cap A_{n-1})>0$ ):

P(A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)\cdots P(A_n\mid A_1\cap\dots\cap A_{n-1}).

Phương pháp

Để tính xác suất đồng thời xảy ra nhiều biến cố: nếu các biến cố độc lập thì nhân các xác suất riêng; nếu không độc lập thì phải dùng xác suất có điều kiện ở các bước tiếp theo.

4. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố “mặt xuất hiện ghi số chẵn”, $B$ là biến cố “mặt xuất hiện ghi số lớn hơn 4”. Tính xác suất của $B$ khi biết $A$ đã xảy ra.

Lời giải · 2 bước

$\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ , $n(\Omega)=6$ . Ta có $A=\{2;4;6\}$ nên $n(A)=3$ ; $B=\{5;6\}$ ; $A\cap B=\{6\}$ nên $n(A\cap B)=1$ .

P(B\mid A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{1}{3}.

Bước 2

Vậy nếu đã biết mặt ghi số chẵn thì xác suất để số đó lớn hơn 4 bằng $\dfrac{1}{3}$ .

Ví dụ 2

Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 18 bạn tham gia câu lạc bộ (CLB) bóng rổ, 15 bạn tham gia CLB bóng đá, 7 bạn tham gia cả hai CLB. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp.

a) Tính xác suất để bạn được chọn có tham gia CLB bóng rổ.

b) Tính xác suất để bạn được chọn có tham gia CLB bóng đá, biết rằng bạn ấy có tham gia CLB bóng rổ.

Lời giải · 4 bước

Gọi $A$ là biến cố “học sinh được chọn tham gia CLB bóng rổ”; $B$ là biến cố “học sinh được chọn tham gia CLB bóng đá”.

Bước 2

a) $P(A)=\dfrac{18}{30}=\dfrac{3}{5}$ .

Bước 3

b) Ta có $A\cap B$ là biến cố “học sinh được chọn tham gia cả hai CLB”, suy ra $P(A\cap B)=\dfrac{7}{30}$ .

P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{7/30}{18/30}=\frac{7}{18}.

Bước 4

Vậy xác suất cần tìm bằng $\dfrac{7}{18}$ .

Ví dụ 3

Một hộp đựng 3 viên bi đỏ và 7 viên bi xanh. Lần lượt rút ra hai viên bi, có hoàn lại.

a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả phép thử.

b) Tính xác suất để lần rút thứ nhất được bi đỏ.

c) Tính xác suất để cả hai lần rút được bi đỏ.

Lời giải · 5 bước

Gọi $A_1$ là biến cố “lần 1 được bi đỏ”, $A_2$ là biến cố “lần 2 được bi đỏ”.

Bước 2

a) Vì có hoàn lại nên hai lần rút độc lập. Sơ đồ hình cây như sau:

Bước 3

b) $P(A_1)=\dfrac{3}{10}$ .

Bước 4

c) Vì có hoàn lại, $A_2$ độc lập với $A_1$ :

P(A_1\cap A_2)=P(A_1)\cdot P(A_2)=\frac{3}{10}\cdot\frac{3}{10}=\frac{9}{100}.

Bước 5

(Nếu không có hoàn lại thì $P(A_2\mid A_1)=\dfrac{2}{9}$ và $P(A_1\cap A_2)=\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{15}$ .)

Ví dụ 4

Tung hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố “con thứ nhất được mặt 6 chấm”, $B$ là biến cố “con thứ hai được mặt 6 chấm”. Chứng minh $A$ và $B$ độc lập.

Lời giải · 2 bước

Không gian mẫu có $36$ kết quả đồng khả năng. $P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ , $P(B)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ . $A\cap B$ là biến cố “cả hai con đều được mặt 6 chấm”, chỉ có một kết quả $(6;6)$ , nên $P(A\cap B)=\dfrac{1}{36}$ . Mặt khác,

P(A)P(B)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}=P(A\cap B).

Bước 2

Vậy $A$ và $B$ độc lập.

Hai lỗi hay gặp

Không được tự ý viết $P(B\mid A)=P(B)$ khi chưa chứng minh được $A,B$ độc lập.
Không được nhầm lẫn $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$ .

Nhớ nhanh

1. Xác suất có điều kiện

2. Hai biến cố độc lập

3. Công thức nhân xác suất

4. Ví dụ minh hoạ