Đăng nhậpDùng miễn phí

Toán 12 · Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 17. Phương trình mặt cầu

Toạ độ hoá định nghĩa hình học: điểm M cách tâm I một khoảng cách cố định. Từ đó suy ra phương trình chính tắc và phương trình tổng quát của mặt cầu.

Nhớ nhanh

Tự kiểm tra

Cho mặt cầu

(x+2)2+(y−1)2+(z−3)2=25.(x+2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=25.

Hãy xác định tâm, bán kính và kiểm tra điểm M(0;2;−1)M(0;2;-1) có thuộc mặt cầu hay không.

Đáp số: I(−2;1;3)I(-2;1;3), R=5R=5; MI2=4+1+16=21<25MI^2=4+1+16=21<25 nên MM không thuộc mặt cầu (nằm trong mặt cầu).

1. Mặt cầu và phương trình chính tắc

Trong không gian với hệ toạ độ OxyzOxyz, mỗi điểm được xác định bởi ba toạ độ. Khoảng cách giữa hai điểm

M(x;y;z),I(a;b;c)M(x;y;z),\quad I(a;b;c)

là

MI=(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2.MI=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}.
Định nghĩa

Cho điểm I(a;b;c)I(a;b;c) và số dương RR. Mặt cầu tâm II, bán kính RR, kí hiệu S(I;R)S(I;R), là tập hợp mọi điểm M(x;y;z)M(x;y;z) trong không gian sao cho

MI=R.MI=R.
Định lí (phương trình mặt cầu).

Mặt cầu tâm I(a;b;c)I(a;b;c), bán kính R>0R>0 có phương trình

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2.(1)(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. \tag{1}

Ngược lại, mọi phương trình có dạng (1)(1) luôn là phương trình của một mặt cầu, với tâm I(a;b;c)I(a;b;c) và bán kính RR.

Dạng (1)(1) gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu.

Các bước viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính
  1. 1.
    Xác định toạ độ tâm I(a;b;c)I(a;b;c).
  2. 2.
    Xác định bán kính RR.
  3. 3.
    Thay vào (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.
Hình minh hoạ

2. Phương trình tổng quát

Khai triển phương trình chính tắc (1)(1):

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2−R2=0,(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2-R^2=0,

hay

x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+(a2+b2+c2−R2)=0.x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+\left(a^2+b^2+c^2-R^2\right)=0.

Đặt d=a2+b2+c2−R2d=a^2+b^2+c^2-R^2, ta được

x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0,(2)x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0, \tag{2}

trong đó điều kiện để (2)(2) là phương trình của một mặt cầu là

a2+b2+c2−d>0.a^2+b^2+c^2-d>0.

Từ phương trình (2)(2), bằng cách hoàn thành bình phương, ta nhận được:

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=a2+b2+c2−d.(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=a^2+b^2+c^2-d.
Nhận dạng mặt cầu từ phương trình tổng quát

Nếu phương trình có dạng

x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0

thì tâm và bán kính lần lượt là

I(a;b;c),R=a2+b2+c2−d.I(a;b;c),\qquad R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}.

Nếu a2+b2+c2−d>0a^2+b^2+c^2-d>0 thì phương trình xác định một mặt cầu.

Lưu ý
  • Nếu a2+b2+c2−d=0a^2+b^2+c^2-d=0 thì vế phải của biểu thức bình phương bằng 00, phương trình chỉ xác định một điểm I(a;b;c)I(a;b;c), không phải mặt cầu.
  • Nếu a2+b2+c2−d<0a^2+b^2+c^2-d<0 thì vế phải là số âm, không có điểm nào thoả mãn phương trình.
  • Khi gặp phương trình có hệ số của x2,y2,z2x^2,y^2,z^2 bằng nhau nhưng khác 11, ta chia hai vế cho hệ số chung để đưa về dạng chuẩn rồi hoàn thành bình phương.

3. Vị trí điểm so với mặt cầu

Cho mặt cầu S(I;R)S(I;R) có phương trình

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2

và điểm M(x0;y0;z0)M(x_0;y_0;z_0). Đặt

D=(x0−a)2+(y0−b)2+(z0−c)2,D=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2+(z_0-c)^2,

tức D=MI2D=MI^2. Ta có bảng xét vị trí sau:

Điều kiệnSo sánh điểm MM với mặt cầuÝ nghĩa
D>R2D>R^2MM nằm ngoài mặt cầuKhoảng cách đến tâm lớn hơn bán kính
D=R2D=R^2MM thuộc mặt cầuMM thỏa mãn phương trình mặt cầu
D<R2D<R^2MM nằm trong mặt cầuKhoảng cách đến tâm nhỏ hơn bán kính

4. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;−2;3)I(1;-2;3) và đi qua điểm A(4;0;3)A(4;0;3).

Lời giải · 2 bước

Bán kính của mặt cầu là

R=IA=(4−1)2+(0+2)2+(3−3)2=32+22+02=13.R=IA=\sqrt{(4-1)^2+(0+2)^2+(3-3)^2}=\sqrt{3^2+2^2+0^2}=\sqrt{13}.
Bước 2

Vậy phương trình mặt cầu là

(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=13.(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=13.
Ví dụ 2

Cho phương trình

x2+y2+z2−2x+4y−2z−3=0.x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-3=0.

Xác định tâm, bán kính của mặt cầu. Xét vị trí của các điểm M(2;0;2)M(2;0;2) và N(1;−5;2)N(1;-5;2) so với mặt cầu.

Lời giải · 8 bước

Phương trình có dạng như (2)(2) với tâm I(a;b;c)I(a;b;c). Xác định toạ độ tâm:

I(1;−2;1).I(1;-2;1).
Bước 2

Ta cũng có d=−3d=-3. Khi đó

R2=a2+b2+c2−d=12+(−2)2+12−(−3)=1+4+1+3=9,R^2=a^2+b^2+c^2-d=1^2+(-2)^2+1^2-(-3)=1+4+1+3=9,
Bước 3

nên

R=3.R=3.
Bước 4

Vậy mặt cầu có tâm I(1;−2;1)I(1;-2;1) và bán kính R=3R=3.

Bước 5

Xét điểm M(2;0;2)M(2;0;2):

MI2=(2−1)2+(0+2)2+(2−1)2=1+4+1=6<9=R2.MI^2=(2-1)^2+(0+2)^2+(2-1)^2=1+4+1=6<9=R^2.
Bước 6

Suy ra MM nằm trong mặt cầu.

Bước 7

Xét điểm N(1;−5;2)N(1;-5;2):

NI2=(1−1)2+(−5+2)2+(2−1)2=0+9+1=10>9=R2.NI^2=(1-1)^2+(-5+2)^2+(2-1)^2=0+9+1=10>9=R^2.
Bước 8

Suy ra NN nằm ngoài mặt cầu.

Ví dụ 3

Một trạm phát sóng được đặt tại tâm trạm I(0;0;0)I(0;0;0) và phủ sóng đều trong phạm vi cách tâm không quá 88 km. Lấy toạ độ theo đơn vị kilomet. Điểm nhận MM có toạ độ (4;4;6)(4;4;6) có nằm trong vùng phủ sóng không?

Lời giải · 3 bước

Vùng phủ sóng là phần không gian bên trong và trên mặt cầu tâm I(0;0;0)I(0;0;0), bán kính R=8R=8 km, có phương trình

x2+y2+z2=64.x^2+y^2+z^2=64.
Bước 2

Khoảng cách từ MM đến II là

MI=42+42+62=16+16+36=68≈8,25 km.MI=\sqrt{4^2+4^2+6^2}=\sqrt{16+16+36}=\sqrt{68} \approx 8{,}25 \ \text{km}.
Bước 3

Vì 68>8\sqrt{68}>8 nên điểm MM nằm ngoài mặt cầu, tức là ngoài vùng phủ sóng.

Trường hợp mặt cầu có đường kính ABAB

Nếu A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A) và B(xB;yB;zB)B(x_B;y_B;z_B) là hai đầu mút của một đường kính thì điểm M(x;y;z)M(x;y;z) thuộc mặt cầu khi và chỉ khi

(x−xA)(x−xB)+(y−yA)(y−yB)+(z−zA)(z−zB)=0.(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)+(z-z_A)(z-z_B)=0.

Đây chính là điều kiện MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0. Cách thường dùng: tâm là trung điểm II của ABAB, bán kính R=AB2R=\dfrac{AB}{2}.

Gặp bài khó? Chụp ảnh để CEAO giảiAI giải từng bước, đề kiểm tra theo bài, thẻ ghi nhớ. Đăng ký miễn phí.
Thử ngay