Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes – Tóm tắt Toán 12

1. Phân hoạch và công thức xác suất toàn phần

Nhắc lại: nếu $P(A)>0$ thì $P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , tức là $P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)$ .

Định nghĩa

Các biến cố $A_1,A_2,\ldots,A_n$ đôi một xung khắc và hợp của chúng bằng không gian mẫu, tức là

A_i\cap A_j=\emptyset\ \text{với mọi}\ i\ne j,\qquad A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=\Omega,

được gọi là một phân hoạch của $\Omega$ .

Hiểu đơn giản: khi thực hiện phép thử, có đúng một trong các hoàn cảnh $A_1,A_2,\ldots,A_n$ xảy ra. Trường hợp hay gặp nhất (như trong SGK) là phân hoạch gồm hai biến cố $A$ và $\overline{A}$ .

Công thức xác suất toàn phần.

Nếu $A_1,A_2,\ldots,A_n$ là một phân hoạch của $\Omega$ và $P(A_i)>0$ với mọi $i$ , thì với mọi biến cố $B$ ,

P(B)=P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)+\cdots+P(A_n)P(B\mid A_n).

Trường hợp chỉ có hai hoàn cảnh $A$ và $\overline{A}$ :

P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A}).

Các bước áp dụng công thức xác suất toàn phần

1.
Chỉ ra các “hoàn cảnh” $A_1,\ldots,A_n$ ; kiểm tra chúng đôi một xung khắc và có hợp là $\Omega$ , rồi tính $P(A_i)$ .
2.
Xác định biến cố cần tính $B$ ; tính từng xác suất có điều kiện $P(B\mid A_i)$ .
3.
Cộng các tích $P(A_i)P(B\mid A_i)$ để được $P(B)$ .

Lưu ý

Nếu “các hoàn cảnh” chồng chéo lên nhau thì chưa phải phân hoạch, không được dùng trực tiếp công thức trên; hãy chỉnh lại cách chia cho thật sự loại trừ và đầy đủ.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes.

Nếu $A_1,\ldots,A_n$ là phân hoạch của $\Omega$ , $P(A_i)>0$ và $P(B)>0$ thì

P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)+\cdots+P(A_n)P(B\mid A_n)}.

Nói gọn:

P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{P(B)}.

Trường hợp hai biến cố $A$ , $\overline{A}$ (với $0<P(A)<1$ , $P(B)>0$ ):

P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid\overline{A})}.

Ý nghĩa: $P(A_i)$ là xác suất của hoàn cảnh trước khi biết $B$ (tiên nghiệm); $P(A_i\mid B)$ là xác suất của hoàn cảnh sau khi biết $B$ xảy ra (hậu nghiệm). Ta viết gọn:

\underbrace{P(A_i)}_{\text{trước khi biết }B}\ \longrightarrow\ \underbrace{P(A_i\mid B)}_{\text{sau khi biết }B}.

Các bước áp dụng công thức Bayes

1.
Xác định phân hoạch $A_1,\ldots,A_n$ , tính $P(A_i)$ .
2.
Xác định biến cố $B$ đã biết là xảy ra; tính $P(B)$ bằng công thức xác suất toàn phần.
3.
Thay vào công thức Bayes để tính $P(A_k\mid B)$ cho hoàn cảnh cần tìm.

Lưu ý

Nói chung $P(A\mid B)$ khác $P(B\mid A)$ ; không được đổi vai hai biến cố. Chính sự chênh lệch này làm cho xét nghiệm y học có thể “dương tính” mà xác suất thực sự mắc bệnh lại không cao.

Bạn cần tính	Dữ kiện	Dùng công thức
$P(B)$	Biết phân hoạch $A_i$ , các $P(A_i)$ và $P(B\mid A_i)$	Xác suất toàn phần
$P(A_k\mid B)$	Đã biết $B$ xảy ra; cùng các $P(A_i)$ , $P(B\mid A_i)$	Bayes (mẫu số là $P(B)$ )

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Một xưởng có hai dây chuyền. Dây chuyền 1 đảm nhận $70\%$ sản lượng, tỉ lệ sản phẩm lỗi $5\%$ ; dây chuyền 2 đảm nhận $30\%$ sản lượng, tỉ lệ lỗi $10\%$ . Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm.

a.
Tính xác suất để sản phẩm bị lỗi.
b.
Nếu sản phẩm bị lỗi, tính xác suất để nó do dây chuyền 1 sản xuất.

Lời giải · 4 bước

Gọi $A_1$ : “sản phẩm do dây chuyền 1”; $A_2$ : “sản phẩm do dây chuyền 2”; $K$ : “sản phẩm bị lỗi”. Khi đó $A_1,A_2$ là phân hoạch và

P(A_1)=0{,}7,\quad P(A_2)=0{,}3,\quad P(K\mid A_1)=0{,}05,\quad P(K\mid A_2)=0{,}10.

Bước 2

a) Công thức xác suất toàn phần:

\begin{aligned} P(K)&=P(A_1)P(K\mid A_1)+P(A_2)P(K\mid A_2)\\ &=0{,}7\cdot 0{,}05+0{,}3\cdot 0{,}10\\ &=0{,}035+0{,}030=0{,}065. \end{aligned}

Bước 3

Vậy xác suất lấy được sản phẩm lỗi là $6{,}5\%$ .

Bước 4

b) Công thức Bayes:

P(A_1\mid K)=\frac{P(A_1)P(K\mid A_1)}{P(K)}=\frac{0{,}7\cdot 0{,}05}{0{,}065}=\frac{0{,}035}{0{,}065}=\frac{7}{13}\approx 0{,}538.

Ví dụ 2

Có ba hộp bi: hộp I có 1 bi trắng, 2 bi đen; hộp II có 2 bi trắng, 2 bi đen; hộp III có 3 bi trắng, 1 bi đen. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi.

a.
Tính xác suất để lấy được bi đen.
b.
Nếu lấy được bi đen, tính xác suất để bi đó lấy từ hộp I.

Lời giải · 4 bước

Gọi $H_1,H_2,H_3$ : “chọn được hộp I, II, III”; $D$ : “bi lấy ra là bi đen”. Chọn hộp ngẫu nhiên nên

P(H_i)=\frac13\ (i=1,2,3),\quad P(D\mid H_1)=\frac23,\quad P(D\mid H_2)=\frac12,\quad P(D\mid H_3)=\frac14.

Bước 2

a) Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(D)=\sum_{i=1}^3 P(H_i)P(D\mid H_i).

Bước 3

Ta có

P(D)=\frac13\cdot\frac23+\frac13\cdot\frac12+\frac13\cdot\frac14=\frac29+\frac16+\frac1{12}=\frac{8}{36}+\frac{6}{36}+\frac{3}{36}=\frac{17}{36}.

Bước 4

b) Áp dụng công thức Bayes:

P(H_1\mid D)=\frac{P(H_1)P(D\mid H_1)}{P(D)}=\frac{\frac13\cdot\frac23}{\frac{17}{36}}=\frac{8}{17}.

Ví dụ 3

Một xét nghiệm sàng lọc bệnh có độ nhạy là $99\%$ (tỉ lệ dương tính khi có bệnh) và tỉ lệ dương tính giả là $5\%$ (trên người không bệnh). Biết trong cộng đồng có $1\%$ người mắc bệnh. Chọn ngẫu nhiên một người; kết quả xét nghiệm dương tính. Tính xác suất để người đó thực sự mắc bệnh.

Lời giải · 3 bước

Gọi $B$ : “người được chọn mắc bệnh”; $T$ : “kết quả xét nghiệm dương tính”. Cặp $B,\overline{B}$ tạo thành phân hoạch và

P(B)=0{,}01,\quad P(\overline{B})=0{,}99,\quad P(T\mid B)=0{,}99,\quad P(T\mid \overline{B})=0{,}05.

Bước 2

Theo công thức xác suất toàn phần,

\begin{aligned} P(T)&=P(B)P(T\mid B)+P(\overline{B})P(T\mid \overline{B})\\ &=0{,}01\cdot 0{,}99+0{,}99\cdot 0{,}05\\ &=0{,}0099+0{,}0495=0{,}0594. \end{aligned}

Bước 3

Theo công thức Bayes,

P(B\mid T)=\frac{P(B)P(T\mid B)}{P(T)}=\frac{0{,}0099}{0{,}0594}=\frac16\approx 0{,}167.

Lưu ý

Kết quả $\dfrac16\approx 16{,}7\%$ cho thấy: với bệnh hiếm, dù xét nghiệm có độ nhạy $99\%$ , người có kết quả dương tính vẫn nhiều khả năng không mắc bệnh (dương tính giả). Vì vậy cần xét nghiệm thêm để khẳng định.

Nhớ nhanh

1. Phân hoạch và công thức xác suất toàn phần

2. Công thức Bayes

3. Ví dụ minh hoạ