Đăng nhậpDùng miễn phí

Toán 12 · Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Khi đã biết toạ độ của các vectơ, ta tính được góc giữa hai vectơ, rồi từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.

Nhớ nhanh

Hai vectơ u⃗,v⃗\vec u,\vec vcos⁡φ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos\varphi=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}
Hai đường thẳng, vectơ chỉ phương u⃗1,u⃗2\vec u_1,\vec u_2cos⁡φ=∣u⃗1⋅u⃗2∣∣u⃗1∣∣u⃗2∣\cos\varphi=\dfrac{|\vec u_1\cdot\vec u_2|}{|\vec u_1||\vec u_2|}
Đường thẳng Δ\Delta (u⃗\vec u) và mặt phẳng (P)(P) (n⃗\vec n)sin⁡φ=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣∣n⃗∣\sin\varphi=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u||\vec n|}
Hai mặt phẳng (P),(Q)(P),(Q) (n⃗1,n⃗2\vec n_1,\vec n_2)cos⁡φ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣∣n⃗2∣\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}
Câu hỏi 1

Cho A(1;0;1)A(1;0;1), B(0;2;3)B(0;2;3), C(−1;4;0)C(-1;4;0). Tính góc giữa hai đường thẳng ABAB và ACAC, rồi cho biết chúng có vuông góc không.

Gợi ý trả lời

Tính hai vectơ chỉ phương AB→=(−1;2;2)\overrightarrow{AB}=(-1;2;2) và AC→=(−2;4;−1)\overrightarrow{AC}=(-2;4;-1), sau đó dùng công thức cos⁡=∣AB→⋅AC→∣∣AB→∣∣AC→∣=8321\cos=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{8}{3\sqrt{21}}, nên góc ≈54,4∘\approx54{,}4^\circ. Vì AB→⋅AC→=8≠0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8\ne0 nên hai đường thẳng không vuông góc.

1. Toạ độ của vectơ và tích vô hướng

Trong không gian OxyzOxyz, mỗi vectơ u⃗\vec u được xác định bởi ba toạ độ (ux;uy;uz)(u_x;u_y;u_z); ba vectơ đơn vị i⃗,j⃗,k⃗\vec i,\vec j,\vec k lần lượt chỉ chiều dương của các trục.

Định nghĩa

Cho hai điểm A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A), B(xB;yB;zB)B(x_B;y_B;z_B). Khi đó

AB→=(xB−xA; yB−yA; zB−zA).\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A).

Độ dài vectơ u⃗=(ux;uy;uz)\vec u=(u_x;u_y;u_z) là

∣u⃗∣=ux2+uy2+uz2.|\vec u|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.

Tổng và nhân vectơ với một số được tính theo toạ độ:

u⃗+v⃗=(ux+vx; uy+vy; uz+vz),ku⃗=(kux;kuy;kuz).\vec u+\vec v=(u_x+v_x;\ u_y+v_y;\ u_z+v_z),\quad k\vec u=(ku_x;ku_y;ku_z).
Tích vô hướng.

Với u⃗=(ux;uy;uz)\vec u=(u_x;u_y;u_z), v⃗=(vx;vy;vz)\vec v=(v_x;v_y;v_z),

u⃗⋅v⃗=uxvx+uyvy+uzvz.\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z.

Nếu φ\varphi là góc giữa u⃗\vec u và v⃗\vec v (0≤φ≤π0\le\varphi\le\pi) thì

u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡φ.\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\cdot|\vec v|\cdot\cos\varphi.
Công thức gốc
cos⁡φ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣.\cos\varphi=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\cdot|\vec v|}.

Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0 (với u⃗,v⃗\vec u,\vec v khác vectơ không).

2. Các dạng toán và công thức

2.1 Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng d1,d2d_1,d_2 trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với d1,d2d_1,d_2; góc được chọn thuộc đoạn [0;π2]\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right].

Gọi u⃗1,u⃗2\vec u_1,\vec u_2 là vectơ chỉ phương của d1,d2d_1,d_2.

Công thức
cos⁡(d1;d2)=∣u⃗1⋅u⃗2∣∣u⃗1∣⋅∣u⃗2∣.\cos\bigl(d_1;d_2\bigr)=\frac{\bigl|\vec u_1\cdot\vec u_2\bigr|}{|\vec u_1|\cdot|\vec u_2|}.
Lưu ý
  • Dùng giá trị tuyệt đối ở tử số để góc nhận được không vượt quá 90∘90^\circ, kể cả khi u⃗1⋅u⃗2<0\vec u_1\cdot\vec u_2<0.
  • d1⊥d2d_1\perp d_2 khi và chỉ khi u⃗1⋅u⃗2=0\vec u_1\cdot\vec u_2=0; d1d_1, d2d_2 song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi u⃗1,u⃗2\vec u_1,\vec u_2 cùng phương (khi đó góc bằng 0∘0^\circ).

2.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa

Góc giữa đường thẳng Δ\Delta và mặt phẳng (P)(P) là góc giữa Δ\Delta với hình chiếu vuông góc của nó trên (P)(P); góc thuộc đoạn [0;π2]\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]. Nếu Δ⊥(P)\Delta\perp(P) thì góc bằng 90∘90^\circ; nếu Δ∥(P)\Delta\parallel(P) hoặc Δ⊂(P)\Delta\subset(P) thì góc bằng 0∘0^\circ.

Gọi u⃗\vec u là vectơ chỉ phương của Δ\Delta, n⃗\vec n là vectơ pháp tuyến của (P)(P) (vectơ vuông góc với (P)(P)).

Công thức
sin⁡(Δ;(P))=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣⋅∣n⃗∣.\sin(\Delta;(P))=\frac{\bigl|\vec u\cdot\vec n\bigr|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}.
Cách tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua ba điểm

Lấy u⃗=M1M2→\vec u=\overrightarrow{M_1M_2}, v⃗=M1M3→\vec v=\overrightarrow{M_1M_3}; vectơ pháp tuyến có thể chọn là n⃗=u⃗×v⃗\vec n=\vec u\times\vec v. Cụ thể, nếu u⃗=(ux;uy;uz)\vec u=(u_x;u_y;u_z), v⃗=(vx;vy;vz)\vec v=(v_x;v_y;v_z) thì các toạ độ của n⃗\vec n lần lượt là uyvz−uzvyu_yv_z-u_zv_y, uzvx−uxvzu_zv_x-u_xv_z, uxvy−uyvxu_xv_y-u_yv_x. Trong bài tập, sau khi tìm được một vectơ n⃗\vec n, ta chỉ cần kiểm tra n⃗⋅u⃗=0\vec n\cdot\vec u=0 và n⃗⋅v⃗=0\vec n\cdot\vec v=0 là hợp lí.

Kết luận nhanh
  • Δ⊥(P)\Delta\perp(P) khi và chỉ khi u⃗\vec u cùng phương với n⃗\vec n.
  • Δ∥(P)\Delta\parallel(P) hoặc Δ⊂(P)\Delta\subset(P) khi và chỉ khi u⃗⋅n⃗=0\vec u\cdot\vec n=0.

2.3 Góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa

Góc giữa hai mặt phẳng (P),(Q)(P),(Q) bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với (P)(P) và (Q)(Q); góc này thuộc đoạn [0;π2]\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]. Nếu (P)∥(Q)(P)\parallel(Q) hoặc trùng nhau thì góc bằng 0∘0^\circ.

Gọi n⃗1,n⃗2\vec n_1,\vec n_2 là vectơ pháp tuyến của (P),(Q)(P),(Q).

Công thức
cos⁡((P);(Q))=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣⋅∣n⃗2∣.\cos\bigl((P);(Q)\bigr)=\frac{\bigl|\vec n_1\cdot\vec n_2\bigr|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}.

Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi n⃗1⋅n⃗2=0\vec n_1\cdot\vec n_2=0.

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Cho a⃗=(1;1;0)\vec a=(1;1;0), b⃗=(1;0;1)\vec b=(1;0;1). Tính góc giữa hai vectơ.

Lời giải

a⃗⋅b⃗=1⋅1+1⋅0+0⋅1=1\vec a\cdot\vec b=1\cdot1+1\cdot0+0\cdot1=1; ∣a⃗∣=2|\vec a|=\sqrt{2}, ∣b⃗∣=2|\vec b|=\sqrt{2}. Do đó

cos⁡φ=12⋅2=12⇒φ=60∘.\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12 \Rightarrow \varphi=60^\circ.
Ví dụ 2

Cho khối lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' cạnh 11, đặt

A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0),A(0;0;0),\ B(1;0;0),\ C(1;1;0),\ D(0;1;0),
A′(0;0;1), B′(1;0;1), C′(1;1;1), D′(0;1;1).A'(0;0;1),\ B'(1;0;1),\ C'(1;1;1),\ D'(0;1;1).

Tính góc giữa hai đường thẳng AC′AC' và BD′BD'.

Lời giải · 2 bước

Vectơ chỉ phương: u⃗1=AC′→=(1;1;1)\vec u_1=\overrightarrow{AC'}=(1;1;1), u⃗2=BD′→=(0−1;1−0;1−0)=(−1;1;1)\vec u_2=\overrightarrow{BD'}=(0-1;1-0;1-0)=(-1;1;1).

u⃗1⋅u⃗2=−1+1+1=1,∣u⃗1∣=∣u⃗2∣=3.\vec u_1\cdot\vec u_2=-1+1+1=1,\quad |\vec u_1|=|\vec u_2|=\sqrt3.
Bước 2

Vậy

cos⁡(AC′;BD′)=∣1∣3⋅3=13⇒goˊc≈70,5∘.\cos\bigl(AC';BD'\bigr)=\frac{|1|}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac13 \Rightarrow \text{góc}\approx 70{,}5^\circ.
Ví dụ 3

Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD là hình vuông cạnh aa, SA⊥(ABCD)SA\perp(ABCD), SA=aSA=a. Chọn hệ trục với A(0;0;0)A(0;0;0), các trục Ox,Oy,OzOx,Oy,Oz lần lượt trùng AB,AD,ASAB,AD,AS nên B(a;0;0)B(a;0;0), D(0;a;0)D(0;a;0), C(a;a;0)C(a;a;0), S(0;0;a)S(0;0;a).

  1. a)
    Tính góc giữa đường thẳng SCSC và mặt phẳng đáy (ABCD)(ABCD).
  2. b)
    Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD)(SBD) và (ABCD)(ABCD).
Lời giải
  1. a)

    Đáy (ABCD)(ABCD) có vectơ pháp tuyến n⃗0=(0;0;1)\vec n_0=(0;0;1). Vectơ chỉ phương của SCSC là u⃗=SC→=(a;a;−a)\vec u=\overrightarrow{SC}=(a;a;-a), ∣u⃗∣=a3|\vec u|=a\sqrt3. Khi đó

    sin⁡α=∣u⃗⋅n⃗0∣∣u⃗∣⋅∣n⃗0∣=aa3=13=33,\sin\alpha=\frac{|\vec u\cdot\vec n_0|}{|\vec u|\cdot|\vec n_0|}=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3},

    nên α≈35,3∘\alpha\approx35{,}3^\circ.

  2. b)

    Mặt phẳng (SBD)(SBD) có vectơ pháp tuyến n⃗1=(1;1;1)\vec n_1=(1;1;1). Kiểm tra: n⃗1⋅SB→=a+0−a=0\vec n_1\cdot\overrightarrow{SB}=a+0-a=0 và n⃗1⋅SD→=0+a−a=0\vec n_1\cdot\overrightarrow{SD}=0+a-a=0. Do đó

    cos⁡φ=∣n⃗1⋅n⃗0∣∣n⃗1∣⋅∣n⃗0∣=13⋅1=33,\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_0|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_0|}=\frac{1}{\sqrt3\cdot1}=\frac{\sqrt3}{3},

    nên φ≈54,7∘\varphi\approx54{,}7^\circ.

Ví dụ 4 (Thực tiễn)

Mái một ngôi nhà được mô hình hoá bởi mặt phẳng (QRS)(QRS), trong đó Q(2;0;0)Q(2;0;0), R(0;2;0)R(0;2;0), S(0;0;2)S(0;0;2) (đơn vị: mét). Mặt đất là mặt phẳng (Oxy)(Oxy). Tính góc nghiêng của mái so với mặt đất.

Lời giải · 2 bước

Mặt đất (Oxy)(Oxy) có vectơ pháp tuyến n⃗0=(0;0;1)\vec n_0=(0;0;1). Với mặt phẳng (QRS)(QRS): QR→=(−2;2;0)\overrightarrow{QR}=(-2;2;0), QS→=(−2;0;2)\overrightarrow{QS}=(-2;0;2); vectơ n⃗=(1;1;1)\vec n=(1;1;1) vuông góc với cả hai vectơ này nên (QRS)(QRS) nhận n⃗=(1;1;1)\vec n=(1;1;1) làm vectơ pháp tuyến. Suy ra

cos⁡φ=∣n⃗⋅n⃗0∣∣n⃗∣⋅∣n⃗0∣=13⋅1=33,\cos\varphi=\frac{|\vec n\cdot\vec n_0|}{|\vec n|\cdot|\vec n_0|}=\frac{1}{\sqrt3\cdot1}=\frac{\sqrt3}{3},
Bước 2

vậy mái nhà nghiêng một góc φ≈54,7∘\varphi\approx54{,}7^\circ so với mặt đất.

Gặp bài khó? Chụp ảnh để CEAO giảiAI giải từng bước, đề kiểm tra theo bài, thẻ ghi nhớ. Đăng ký miễn phí.
Thử ngay