Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian – Tóm tắt Toán 12

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Trong không gian, một đường thẳng được xác định khi biết một điểm thuộc đường thẳng đó và phương của nó.

Định nghĩa

Cho đường thẳng $d$ trong không gian. Vectơ $\vec u\ne\vec 0$ được gọi là vectơ chỉ phương (vtcp) của $d$ nếu giá của $\vec u$ song song hoặc trùng với $d$ .

Những điều cần nhớ về vectơ chỉ phương

Vectơ chỉ phương không duy nhất: nếu $\vec u$ là vtcp của $d$ thì mọi vectơ $k\vec u$ (với $k\ne0$ ) cũng là vtcp của $d$ .
Nếu $M_1,M_2$ là hai điểm phân biệt trên $d$ thì $\overrightarrow{M_1M_2}$ là một vtcp của $d$ . Trong toạ độ:

$\overrightarrow{M_1M_2}(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1).$

2. Phương trình đường thẳng trong không gian

2.1 Phương trình tham số

Định nghĩa

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vtcp $\vec u(a;b;c)$ . Với mọi điểm $M(x;y;z)$ , ta có

M\in d \iff \overrightarrow{M_0M}=t\,\vec u\quad (t\in\R).

Viết theo toạ độ, điều đó tương đương với

\begin{cases} x=x_0+at,\\ y=y_0+bt,\\ z=z_0+ct \end{cases} \quad (t\in\R).

Hệ phương trình này (với tham số $t$ ) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $d$ .

Ý nghĩa: khi $t$ thay đổi trên $\R$ , điểm $M$ chạy khắp đường thẳng $d$ . Điểm $M_0$ ứng với $t=0$ ; điểm $M_1$ ứng với $t=1$ có toạ độ $(x_0+a;y_0+b;z_0+c)$ .

2.2 Phương trình chính tắc

Định nghĩa

Khi $a,b,c$ đều khác $0$ , khử được tham số $t$ ở hệ trên, ta thu được

\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.

Đẳng thức này được gọi là phương trình chính tắc của $d$ .

Khi một trong

a,b,c

bằng

0

Nếu một trong các số $a,b,c$ bằng $0$ thì đường thẳng không có phương trình chính tắc; khi đó toạ độ tương ứng không đổi, ta thường dùng phương trình tham số.

Ví dụ: $d$ đi qua $M_0(-2;1;4)$ có vtcp $\vec u(1;0;2)$ . Khi đó mọi điểm của $d$ có $y=1$ và thoả mãn $\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{z-4}{2}$ .

Định nghĩa

Với $d:x=x_0+at;\ y=y_0+bt;\ z=z_0+ct$ , điểm $M(x;y;z)$ thuộc $d$ khi và chỉ khi thỏa mãn hệ trên với một giá trị $t\in\R$ .

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho $d_1$ đi qua $M_1$ , có vtcp $\vec{u_1}$ và $d_2$ đi qua $M_2$ , có vtcp $\vec{u_2}$ .

Vị trí tương đối.

$d_1\equiv d_2$ $\iff$ $\vec{u_1}$ , $\vec{u_2}$ cùng phương và $M_1\in d_2$ .
$d_1\parallel d_2$ $\iff$ $\vec{u_1}$ , $\vec{u_2}$ cùng phương và $M_1\notin d_2$ .
$d_1$ cắt $d_2$ $\iff$ $\vec{u_1}$ , $\vec{u_2}$ không cùng phương và $[\vec{u_1},\vec{u_2}]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=0$ .
$d_1$ , $d_2$ chéo nhau $\iff$ $[\vec{u_1},\vec{u_2}]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}\ne0$ .

Ngoài ra, $d_1\perp d_2\iff\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0$ .

Lưu ý

Khi $\vec{u_1}$ , $\vec{u_2}$ không cùng phương, có thể giải hệ phương trình giao điểm (từ hai phương trình tham số với hai tham số khác nhau): hệ có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau, hệ vô nghiệm thì chéo nhau.

4. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(1;-2;3)$ và có vtcp $\vec u(2;1;-1)$ .

Lời giải

Áp dụng ngay công thức $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ với $(x_0;y_0;z_0)=(1;-2;3)$ và $(a;b;c)=(2;1;-1)$ :

\frac{x-1}{2}=\frac{y-(-2)}{1}=\frac{z-3}{-1} \quad\text{hay}\quad \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-1}.

Ví dụ 2

Cho đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-3}{-1}$ . Chỉ ra một điểm thuộc $\Delta$ và một vtcp của $\Delta$ . Điểm $N(3;1;-1)$ có thuộc $\Delta$ không?

Lời giải · 3 bước

So sánh với dạng chính tắc, $\Delta$ đi qua $M_0(1;-2;3)$ và có vtcp $\vec u(2;1;-1)$ .

Bước 2

Thay toạ độ $N$ vào hai vế đầu:

\frac{3-1}{2}=1,\qquad \frac{1+2}{1}=3.

Bước 3

Vì $1\ne 3$ , đẳng thức không thành lập, nên $N\notin\Delta$ .

Ví dụ 3

Cho hai điểm $A(2;-1;3)$ và $B(5;0;1)$ . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$ .

Lời giải · 2 bước

Một vtcp của $AB$ là

\vec u=\overrightarrow{AB}(5-2;0-(-1);1-3)=(3;1;-2).

Bước 2

Vậy

\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-2}.

Ví dụ 4

Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua $M(-2;1;4)$ và có vtcp $\vec u(1;0;2)$ .

Lời giải · 2 bước

\begin{cases} x=-2+t,\\ y=1,\\ z=4+2t \end{cases} \quad (t\in\R).

Bước 2

Dạng chính tắc tương ứng: $\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{z-4}{2}$ và $y=1$ .

Ví dụ 5 (Ứng dụng thực tiễn)

Trong hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị: mét), một vật nhỏ chuyển động thẳng đều. Tại thời điểm $t=0$ , vật ở vị trí $M_0(2;1;3)$ và chuyển động theo hướng vectơ $\vec u(1;-1;2)$ với tốc độ $\sqrt6$ m/s. Hãy cho biết vị trí của vật sau $t$ giây và tính vị trí tại $t=5$ .

Lời giải · 3 bước

Ta có $|\vec u|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt6$ (m). Vì vật đi với tốc độ $\sqrt6$ m/s trong $t$ giây nên quãng đường đi được bằng $t\sqrt6$ (m), tức đúng bằng $t|\vec u|$ . Do đó vectơ dịch chuyển của vật là $t\vec u$ .

Bước 2

Quỹ đạo của vật:

\begin{cases} x=2+t,\\ y=1-t,\\ z=3+2t \end{cases} \quad (t\ge 0).

Bước 3

Tại $t=5$ : $M(2+5;1-5;3+10)=(7;-4;13)$ .

Ví dụ 6

Xét vị trí tương đối của $d_1:\begin{cases}x=1+t\\ y=2t\\ z=3-t\end{cases}$ và $d_2:\begin{cases}x=s\\ y=1+s\\ z=2+2s.\end{cases}$

Lời giải · 2 bước

$\vec{u_1}=(1;2;-1)$ , $\vec{u_2}=(1;1;2)$ không cùng phương. Xét hệ $1+t=s$ , $2t=1+s$ , $3-t=2+2s$ . Từ hai phương trình đầu: $t=2$ , $s=3$ ; thay vào phương trình thứ ba: $1\ne8$ . Hệ vô nghiệm nên $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.

Bước 2

(Kiểm tra: $M_1(1;0;3)$ , $M_2(0;1;2)$ , $[\vec{u_1},\vec{u_2}]=(5;-3;-1)$ , $\overrightarrow{M_1M_2}=(-1;1;-1)$ , tích vô hướng bằng $-5-3+1=-7\ne0$ .)

Câu hỏi 1

Cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z}{4}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

a.
$d$ đi qua $A(1;-3;0)$ và có vtcp $\vec u(2;1;4)$ .
b.
$d$ đi qua $A(-1;3;0)$ và có vtcp $\vec u(2;-1;4)$ .
c.
$d$ đi qua $A(1;-3;0)$ và có vtcp $\vec u(-2;1;-4)$ .

Gợi ý trả lời

So sánh với $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ : điểm đi qua là $M_0(x_0;y_0;z_0)$ , vtcp là $\vec u(a;b;c)$ . Nhớ rằng $-\vec u$ cũng là vtcp của cùng một đường thẳng. Đáp án: b.

Nhớ nhanh

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

2. Phương trình đường thẳng trong không gian

2.1 Phương trình tham số

2.2 Phương trình chính tắc

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

4. Ví dụ minh hoạ