Bài 14. Phương trình mặt phẳng – Tóm tắt Toán 12

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa

Trong không gian $Oxyz$ , vectơ $\vec{n}\neq\vec{0}$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Điều cần ghi nhớ về vectơ pháp tuyến

Mỗi mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến; chúng đều cùng phương với nhau.
Hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong $(P)$ , gọi là một cặp vectơ chỉ phương của $(P)$ . Khi đó tích có hướng $[\vec{a},\vec{b}]$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .
Với $\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)$ , $\vec{b}=(b_1;b_2;b_3)$ :

$[\vec{a},\vec{b}]=\bigl(a_2b_3-a_3b_2;\ a_3b_1-a_1b_3;\ a_1b_2-a_2b_1\bigr).$

Vectơ này vuông góc với cả $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Định nghĩa

Mặt phẳng $(P)$ nhận vectơ $\vec{n}(A;B;C)$ ( $\vec{n}\neq\vec{0}$ ) làm vectơ pháp tuyến có dạng phương trình

Ax+By+Cz+D=0,

trong đó $A^2+B^2+C^2\neq0$ . Đây gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Định lí.

Với mọi bốn số thực $A,B,C,D$ thỏa mãn $A^2+B^2+C^2\neq0$ , phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ luôn là phương trình của một mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(A;B;C)$ .

Như vậy, trong không gian, mỗi phương trình bậc nhất ba ẩn $x,y,z$ là phương trình của một mặt phẳng.

Nhận diện nhanh qua hệ số

Hệ số	Dạng phương trình	Ý nghĩa hình học
$D=0$	$Ax+By+Cz=0$	Đi qua gốc toạ độ $O$ .
$A=B=0$	$Cz+D=0$ hay $z=z_0$	Song song hoặc trùng với $(Oxy)$ .
$A=C=0$	$By+D=0$ hay $y=y_0$	Song song hoặc trùng với $(Oxz)$ .
$B=C=0$	$Ax+D=0$ hay $x=x_0$	Song song hoặc trùng với $(Oyz)$ .
$C=0$	$Ax+By+D=0$	Song song với trục $Oz$ ( $D\ne0$ ) hoặc chứa trục $Oz$ ( $D=0$ ).

3. Các dạng phương trình mặt phẳng

Cho điểm và vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và nhận $\vec{n}(A;B;C)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.

Cho ba điểm không thẳng hàng

Mặt phẳng đi qua $A, B, C$ với $A,B,C$ không thẳng hàng. Lấy $\vec{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]$ , rồi viết phương trình qua $A$ và $\vec{n}$ . Cũng có thể dùng định thức:

\left|\begin{array}{ccc} x-x_A & y-y_A & z-z_A\\ x_B-x_A & y_B-y_A & z_B-z_A\\ x_C-x_A & y_C-y_A & z_C-z_A \end{array}\right|=0.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng đi qua ba điểm $A(a;0;0)$ , $B(0;b;0)$ , $C(0;0;c)$ với $abc\ne0$ có phương trình

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.

Cho điểm và cặp vectơ chỉ phương

Mặt phẳng đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\vec{a},\vec{b}$ . Lấy $\vec{n}=[\vec{a},\vec{b}]$ rồi viết phương trình qua $M_0$ nhận $\vec{n}$ làm VTPT. Cũng có thể viết bằng định thức:

\left|\begin{array}{ccc} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{array}\right|=0.

4. Vị trí tương đối và góc giữa hai mặt phẳng

Cho $(P_1):A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ có VTPT $\vec{n_1}$ và $(P_2):A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ có VTPT $\vec{n_2}$ .

Định nghĩa

Góc giữa hai mặt phẳng $(P_1)$ và $(P_2)$ là góc giữa hai vectơ pháp tuyến $\vec{n_1},\vec{n_2}$ hoặc góc bù của nó; giá trị thường lấy trong đoạn $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Vị trí tương đối.

$(P_1)$ vuông góc với $(P_2)$ khi và chỉ khi $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$ .
$(P_1)\parallel(P_2)$ khi và chỉ khi tồn tại số $k\ne0$ sao cho $(A_1;B_1;C_1)=k(A_2;B_2;C_2)$ và $D_1\ne kD_2$ .
$(P_1)\equiv(P_2)$ khi và chỉ khi $(A_1;B_1;C_1;D_1)=k(A_2;B_2;C_2;D_2)$ với $k\ne0$ .
Nếu $\vec{n_1}$ , $\vec{n_2}$ không cùng phương thì $(P_1)$ và $(P_2)$ cắt nhau.

Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng:

\cos\varphi=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|},\quad \varphi\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right].

5. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Công thức khoảng cách.

Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$ là

d(M_0,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Lưu ý

Dấu giá trị tuyệt đối ở tử số đảm bảo khoảng cách không âm.
Điểm $M_0$ thuộc mặt phẳng $(P)$ khi và chỉ khi $Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$ .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cũng được tính bằng cách lấy một điểm thuộc mặt phẳng này rồi đo đến mặt phẳng kia.

6. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P)$ có hai vectơ chỉ phương $\vec{u}(1;2;0)$ , $\vec{v}(3;-1;5)$ và đi qua điểm $M(1;-1;2)$ . Viết phương trình của $(P)$ .

Lời giải · 4 bước

Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là

\vec{n}=[\vec{u},\vec{v}] =\bigl(2\cdot5-0\cdot(-1);\,0\cdot3-1\cdot5;\,1\cdot(-1)-2\cdot3\bigr) =(10;-5;-7).

Bước 2

Mặt phẳng đi qua $M(1;-1;2)$ và có VTPT $\vec{n}(10;-5;-7)$ có phương trình

10(x-1)-5(y+1)-7(z-2)=0.

Bước 3

Khai triển ta được

10x-5y-7z-10-5+14=0 \Rightarrow 10x-5y-7z-1=0.

Bước 4

Vậy $(P):10x-5y-7z-1=0$ .

Ví dụ 2

Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1;0;1)$ , $B(2;1;0)$ , $C(0;2;1)$ .

Lời giải · 4 bước

Ta có $\overrightarrow{AB}(1;1;-1)$ và $\overrightarrow{AC}(-1;2;0)$ . Hai vectơ này không cùng phương nên xác định một mặt phẳng duy nhất. Vectơ pháp tuyến là

\vec{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}] =\bigl(1\cdot0-(-1)\cdot2;\,(-1)\cdot(-1)-1\cdot0;\,1\cdot2-1\cdot(-1)\bigr) =(2;1;3).

Bước 2

Mặt phẳng đi qua $A(1;0;1)$ và có VTPT $\vec{n}(2;1;3)$ có phương trình

2(x-1)+1(y-0)+3(z-1)=0.

Bước 3

Suy ra

2x+y+3z-2-3=0 \Rightarrow 2x+y+3z-5=0.

Bước 4

Vậy $(P):2x+y+3z-5=0$ .

Ví dụ 3

Cho hai mặt phẳng $(P_1):x+y-3=0$ và $(P_2):x-2y+z+1=0$ . Xét vị trí tương đối và tính góc giữa chúng.

Lời giải · 2 bước

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n_1}(1;1;0)$ , $\vec{n_2}(1;-2;1)$ . Hai vectơ này không cùng phương nên $(P_1)$ cắt $(P_2)$ theo một đường thẳng. Góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng thỏa mãn

\cos\varphi=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|} =\frac{|1\cdot1+1\cdot(-2)+0\cdot1|} {\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}}

=\frac{|-1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}} =\frac{1}{\sqrt{12}} =\frac{\sqrt{3}}{6}.

Bước 2

Suy ra $\varphi=\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ .

Ví dụ 4

Trong hệ toạ độ đơn vị mét, mặt phẳng mái nhà có phương trình $(P):x+y-z+2=0$ . Một bóng đèn được treo tại điểm $M(1;2;6)$ . Tính khoảng cách từ bóng đèn đến mặt phẳng mái nhà.

Lời giải · 2 bước

Áp dụng công thức khoảng cách:

d(M,(P))=\frac{|1+2-6+2|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} =\frac{|-1|}{\sqrt{3}} =\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{3}\ \text{m}.

Bước 2

Vậy khoảng cách từ bóng đèn đến mặt phẳng mái nhà bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ m, xấp xỉ $0{,}58$ m.

Nhớ nhanh

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

3. Các dạng phương trình mặt phẳng

4. Vị trí tương đối và góc giữa hai mặt phẳng

5. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

6. Ví dụ minh hoạ