Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân – Tóm tắt Toán 12

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

Trong bài này, các hàm số được xét là liên tục trên đoạn $[a;b]$ .

Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ . Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a$ , $x=b$ được tính như sau.

Nếu $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in[a;b]$ thì $S=\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .
Nếu $f(x)\le 0$ với mọi $x\in[a;b]$ thì $S=-\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Với trường hợp tổng quát, ta có $S=\displaystyle\int_a^b \left|f(x)\right|\,\mathrm{d}x$ .

Định nghĩa

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên $[a;b]$ . Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đó và hai đường thẳng $x=a$ , $x=b$ là

S=\int_a^b \left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{d}x.

Đặc biệt, nếu $f(x)\ge g(x)$ với mọi $x\in[a;b]$ thì $S=\displaystyle\int_a^b \left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{d}x$ .

Lưu ý

Nếu đề bài không cho hai đường thẳng $x=a$ , $x=b$ thì các cận là hoành độ giao điểm của hai đồ thị, tìm bằng cách giải phương trình $f(x)=g(x)$ . Khi hai đồ thị cắt nhau nhiều lần, ta phải chia khoảng thành những đoạn mà trên đó thứ tự của $f$ và $g$ không đổi, sau đó lấy tổng các diện tích dương.

1.1 Phương pháp xét diện tích hình phẳng

Các bước tính diện tích hình phẳng

1.
Vẽ hình miêu tả hình phẳng cần tính.
2.
Tìm hoành độ giao điểm của các đường cong bằng phương trình $f(x)=g(x)$ .
3.
Trên từng khoảng giữa các giao điểm, xác định đồ thị nằm trên và đồ thị nằm dưới.
4.
Dùng công thức $S=\displaystyle\int_a^b\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{d}x$ và tính tích phân.

2. Thể tích vật thể không gian bằng tích phân

2.1 Thể tích vật thể có tiết diện vuông góc với trục hoành biết trước

Công thức thể tích.

Gọi $V$ là vật thể có mặt phẳng tiết diện vuông góc với trục $Ox$ tại hoành độ $x$ có diện tích $S(x)$ . Nếu $S(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ thì thể tích vật thể được cho bởi

V=\int_a^b S(x)\,\mathrm{d}x.

2.2 Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục hoành

Công thức đĩa tròn.

Cho miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục, $f(x)\ge 0$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a$ , $x=b$ . Phần không gian thu được khi quay miền đó quanh trục $Ox$ gồm nhiều đĩa tròn; tại vị trí $x$ , đĩa có bán kính $f(x)$ , do đó diện tích tiết diện là $S(x)=\pi f^2(x)$ . Vậy thể tích vật thể tròn xoay là

V=\pi\int_a^b f^2(x)\,\mathrm{d}x.

Lưu ý

Nếu miền cần quay nằm giữa hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$ , với $f(x)\ge g(x)\ge 0$ trên $[a;b]$ , thì tiết diện tại $x$ là vành khăn có diện tích $S(x)=\pi\left[f^2(x)-g^2(x)\right]$ . Khi đó

V=\pi\int_a^b \left[f^2(x)-g^2(x)\right]\mathrm{d}x.

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$ và đường thẳng $y=x$ .

Lời giải · 3 bước

Phương trình hoành độ giao điểm:

x^2=x \iff x(x-1)=0 \iff x=0\,\text{hoặc}\,x=1.

Bước 2

Trên khoảng $(0;1)$ có $x\ge x^2$ , do đó

S=\int_0^1 \left(x-x^2\right)\mathrm{d}x =\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.

Bước 3

Vậy diện tích cần tính là $\dfrac16$ .

Ví dụ 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sin x$ và trục hoành trên đoạn $[0;\pi]$ .

Lời giải · 2 bước

Vì $\sin x\ge 0$ với mọi $x\in[0;\pi]$ nên

S=\int_0^\pi \sin x\,\mathrm{d}x =\left[-\cos x\right]_0^\pi =-\cos\pi+\cos 0=2.

Bước 2

Vậy diện tích cần tính bằng $2$ đơn vị diện tích.

Ví dụ 3

Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2$ , trục hoành và các đường thẳng $x=0$ , $x=2$ .

Lời giải

Miền cần quay có bán kính tiết diện $r(x)=x^2$ . Áp dụng công thức đĩa tròn:

V=\pi\int_0^2 \left(x^2\right)^2\mathrm{d}x =\pi\int_0^2 x^4\,\mathrm{d}x =\pi\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 =\pi\cdot\frac{32}{5}=\frac{32\pi}{5}.

Ví dụ 4

Một bình nước hình tròn xoay có bán kính tiết diện tại độ cao $x$ (cm) là $r(x)=\sqrt{x}$ , với $0\le x\le4$ . Tính thể tích nước lớn nhất mà bình có thể chứa (theo $\mathrm{cm^3}$ ).

Lời giải · 3 bước

Diện tích tiết diện tại độ cao $x$ là

S(x)=\pi r^2(x)=\pi x.

Bước 2

Suy ra thể tích bình là

V=\int_0^4 \pi x\,\mathrm{d}x =\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 =8\pi.

Bước 3

Vậy thể tích nước lớn nhất là $8\pi\ \mathrm{cm^3}$ .

Câu hỏi 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3$ và đường thẳng $y=x$ .

Gợi ý trả lời

Giao điểm có hoành độ $-1,0,1$ . Chia làm hai phần: trên $[-1;0]$ có $x^3\ge x$ , trên $[0;1]$ có $x\ge x^3$ . Do đó

S=\int_{-1}^{0}\left(x^3-x\right)\mathrm{d}x+\int_0^1\left(x-x^3\right)\mathrm{d}x =\frac14+\frac14=\frac12.

Nhớ nhanh

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

1.1 Phương pháp xét diện tích hình phẳng

2. Thể tích vật thể không gian bằng tích phân

2.1 Thể tích vật thể có tiết diện vuông góc với trục hoành biết trước

2.2 Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục hoành

3. Ví dụ minh hoạ