Bài 12. Tích phân – Tóm tắt Toán 12

1. Khái niệm tích phân

1.1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, không âm trên đoạn $[a;b]$ . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a$ , $x=b$ gọi là hình thang cong. Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $[a;b]$ thì diện tích hình thang cong đó là

S=F(b)-F(a).

Hình 1. Hình thang cong có diện tích $S=\int_a^b f(x)\,dx$ .

Định nghĩa tích phân

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$ . Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a;b]$ thì hiệu số $F(b)-F(a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của hàm số $f(x)$ , kí hiệu

\int_a^b f(x)\,dx=\bigl.F(x)\bigr|_a^b=F(b)-F(a).

Số $a$ gọi là cận dưới, $b$ gọi là cận trên, $f(x)$ là hàm số dưới dấu tích phân.

Lưu ý

Tích phân không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm $F$ và không phụ thuộc kí hiệu biến: $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt$ .
Quy ước: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx=0$ và $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$ .
Ý nghĩa hình học: nếu $f(x)\ge 0$ trên $[a;b]$ thì $\int_a^b f(x)\,dx$ là diện tích hình thang cong ở Hình 1.
Ý nghĩa vật lí: nếu vật chuyển động với vận tốc $v(t)$ thì quãng đường vật đi được từ thời điểm $a$ đến $b$ (khi $v(t)\ge0$ ) là $\int_a^b v(t)\,dt$ .

2. Tính chất của tích phân

Tính chất.

Cho các hàm số $f$ , $g$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và hằng số $k$ . Khi đó:

1.
$\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx$ .
2.
$\displaystyle\int_a^b\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx\pm\int_a^b g(x)\,dx$ .
3.
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$ với $a<c<b$ .

Tính tích phân

1.
Kiểm tra $f$ liên tục trên $[a;b]$ .
2.
Dùng tính chất tách thành các tích phân đơn giản; tìm một nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ .
3.
Tính $F(b)-F(a)$ . Với hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc hàm cho bởi nhiều công thức, chia đoạn tại các điểm đổi công thức.

Kéo thử: dời hai cận $a$ , $b$ và đổi hàm mẫu để thấy khi nào tích phân âm, bằng 0, và vì sao tích phân khác diện tích hình phẳng.

Chủ đề: Tích phân và diện tích hình phẳng
Mẫu: y = x^2 - 1
Mẫu: y = x^3
Mẫu: y = sin(x)
Mẫu: y = 2x + 1
Tham số: a = -1 (-3..3, bước 0.5)
Tham số: b = 1 (-3..3, bước 0.5)
Diện tích: a..b
Khung: x -3..3, y -3..3
Đọc: diện tích
Thử: tichphan < 0 và dientich > 0 | Chọn cận để tích phân âm (hình nằm dưới trục Ox)
Thử: tichphan = 0 và dientich > 0 | Tích phân bằng 0 mà diện tích vẫn dương (chọn y = x³ với a = −b)
Thử: a = b | Cho a = b: tích phân bằng 0

Bật JavaScript để kéo thử đồ thị này.

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Một vật chuyển động với vận tốc $v(t)=3t^2+2t$ (m/s). Tính quãng đường vật đi được từ $t=0$ đến $t=5$ (giây).

Lời giải · 3 bước

Vì $v(t)\ge0$ trên $[0;5]$ nên quãng đường là

S=\int_0^5 (3t^2+2t)\,dt.

Bước 2

Một nguyên hàm của $3t^2+2t$ là $F(t)=t^3+t^2$ . Vậy

S=\bigl.(t^3+t^2)\bigr|_0^5=5^3+5^2-0=125+25=150.

Bước 3

Vậy vật đi được $150$ m.

Ví dụ 2

Tính tích phân $\displaystyle\int_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ .

Lời giải

Viết $\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ . Một nguyên hàm của $x^{-1/2}$ là $2\sqrt{x}$ (vì $(2\sqrt{x})'=x^{-1/2}$ ). Do đó

\int_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\bigl.2\sqrt{x}\bigr|_1^4=2\sqrt4-2\sqrt1=4-2=2.

Ví dụ 3

Tính tích phân $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$ .

Lời giải · 2 bước

Một nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$ . Vậy

\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\bigl.\sin x\bigr|_0^{\pi/2}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1-0=1.

Bước 2

Vì $\cos x\ge0$ trên $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ , đây là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y=\cos x$ , trục hoành và các đường thẳng $x=0$ , $x=\frac{\pi}{2}$ .

Ví dụ 4

Cho $f(x)=\max\{x^2;4\}$ trên $[-3;3]$ . Tính $\displaystyle\int_{-3}^3 f(x)\,dx$ .

Lời giải · 4 bước

Ta có

f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{khi } |x|\ge 2,\\ 4 & \text{khi } |x|<2. \end{cases}

Bước 2

Chia đoạn $[-3;3]$ tại $-2$ và $2$ :

\int_{-3}^3 f(x)\,dx=\int_{-3}^{-2}x^2\,dx+\int_{-2}^2 4\,dx+\int_2^3 x^2\,dx.

Bước 3

Tính từng phần:

\int_{-3}^{-2}x^2\,dx=\Bigl.\tfrac{x^3}{3}\Bigr|_{-3}^{-2}=\frac{-8}{3}-\frac{-27}{3}=\frac{19}{3},\qquad \int_{-2}^{2}4\,dx=\bigl.4x\bigr|_{-2}^2=16,

\int_2^3 x^2\,dx=\Bigl.\tfrac{x^3}{3}\Bigr|_2^3=\frac{27-8}{3}=\frac{19}{3}.

Bước 4

Cộng lại:

\int_{-3}^3 f(x)\,dx=\frac{19}{3}+16+\frac{19}{3}=\frac{86}{3}.

Ví dụ 5

Nước chảy vào một bể với tốc độ $r(t)=10+6\sin\dfrac{\pi t}{6}$ (lít/phút), $t$ tính bằng phút. Tính lượng nước chảy vào bể trong 12 giờ đầu.

Lời giải · 4 bước

Đổi đơn vị: 12 giờ $=720$ phút. Lượng nước là

V=\int_0^{720}\Bigl(10+6\sin\frac{\pi t}{6}\Bigr)\,dt=\int_0^{720}10\,dt+\int_0^{720}6\sin\frac{\pi t}{6}\,dt.

Bước 2

Phần thứ nhất: $\bigl.10t\bigr|_0^{720}=7200$ .

Bước 3

Phần thứ hai: một nguyên hàm của $6\sin\frac{\pi t}{6}$ là $-\frac{36}{\pi}\cos\frac{\pi t}{6}$ (kiểm tra bằng đạo hàm). Vậy

\int_0^{720}6\sin\frac{\pi t}{6}\,dt=-\frac{36}{\pi}\bigl(\cos 120\pi-\cos 0\bigr)=-\frac{36}{\pi}(1-1)=0.

Bước 4

Do đó $V=7200$ lít.

5. Một số lỗi thường gặp cần tránh

Lưu ý

Quên điều kiện $f$ liên tục trên đoạn lấy tích phân. Ví dụ $f(x)=\frac1x$ không xác định tại $x=0\in[-1;1]$ nên không thể tính $\int_{-1}^1\frac1x\,dx$ theo công thức $F(b)-F(a)$ .
Nhầm diện tích với tích phân: diện tích luôn không âm, còn tích phân có thể âm hoặc bằng $0$ (ví dụ $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0$ ).
Khi đổi chỗ hai cận phải đổi dấu: $\int_a^b=-\int_b^a$ .

6. Tự kiểm tra nhanh

Câu hỏi 1

1. Hãy nêu ý nghĩa hình học của $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ khi $f$ liên tục và $f(x)\ge 0$ trên $[a;b]$ .

Gợi ý trả lời

Đó là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a$ , $x=b$ .

Câu hỏi 2

2. Tính $\displaystyle\int_0^2 (x^3-2x)\,dx$ .

Gợi ý trả lời

$F(x)=\frac{x^4}{4}-x^2$ ; $F(2)-F(0)=(4-4)-0=0$ .

Câu hỏi 3

3. Có thể tính $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx$ bằng công thức $F(b)-F(a)$ không?

Gợi ý trả lời

Không. Hàm $\frac1{x^2}$ không xác định tại $x=0$ thuộc đoạn $[-1;1]$ , nên không liên tục trên đoạn này; định nghĩa tích phân ở trên không áp dụng được. (Nếu áp dụng máy móc sẽ ra $-2<0$ , vô lí vì $\frac{1}{x^2}>0$ .)

Nhớ nhanh

1. Khái niệm tích phân

1.1 Diện tích hình thang cong

2. Tính chất của tích phân

3. Ví dụ minh hoạ

5. Một số lỗi thường gặp cần tránh

6. Tự kiểm tra nhanh