Bài 11. Nguyên hàm – Tóm tắt Toán 12

1. Khái niệm nguyên hàm

Định nghĩa

Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng $K$ . Hàm số $F$ xác định và có đạo hàm trên $K$ được gọi là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ nếu

F'(x)=f(x) \quad \text{với mọi } x\in K.

Chẳng hạn, $\dfrac{x^3}{3}$ là một nguyên hàm của $x^2$ trên $\R$ , vì $\left(\dfrac{x^3}{3}\right)'=x^2$ . Nếu cộng thêm một hằng số bất kì, các hàm $\dfrac{x^3}{3}+2$ , $\dfrac{x^3}{3}-5$ vẫn là những nguyên hàm của cùng một hàm số $x^2$ .

Định lí về tập hợp các nguyên hàm của một hàm số.

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng

F(x)+C,

trong đó $C$ là một hằng số.

Như vậy, để chỉ cả họ các nguyên hàm của $f$ , người ta viết

\boxed{\int f(x)\,dx=F(x)+C.}

Kí hiệu $\int f(x)\,dx$ chỉ họ tất cả các nguyên hàm của $f$ trên $K$ ; $C$ là hằng số tuỳ ý.

Lưu ý

Mọi hàm số liên tục trên khoảng $K$ đều có nguyên hàm trên $K$ . Ta có $\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x)$ và $\int f'(x)\,dx=f(x)+C$ .

1.1 Tính chất của nguyên hàm

Cho $f$ , $g$ liên tục trên $K$ và hằng số $k\ne0$ . Khi đó

\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx;

\int\bigl[f(x)\pm g(x)\bigr]dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx.

Lưu ý

Muốn tìm nguyên hàm, ta lùi một bước từ bảng đạo hàm. Chẳng hạn, từ quy tắc $\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)'=x^n$ suy ra nguyên hàm của $x^n$ khi $n\ne -1$ ; từ $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ suy ra nguyên hàm của $\dfrac{1}{x}$ khi $x>0$ .

1.2 Bảng nguyên hàm cơ bản

Hàm số	Nguyên hàm
$k$ ( $k$ hằng số)	$kx+C$
$x^n$ , $n\ne -1$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac{1}{x}$ , $x\ne 0$	$\ln\|x\|+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x$ ( $a>0$ , $a\ne 1$ )	$\frac{a^x}{\ln a}+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x+C$
$\frac{1}{\sin^2 x}$	$-\cot x+C$

2. Mở rộng: đổi biến trong tính nguyên hàm

Tính chất đổi biến.

Nếu $u=g(x)$ có đạo hàm trên $K$ và $F'(u)=f(u)$ trên một khoảng chứa $g(K)$ thì theo quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp,

\bigl(F(g(x))\bigr)'=f(g(x))g'(x).

Do đó

\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du \quad\text{với}\quad u=g(x).

Lưu ý

Dạng hay gặp là $\int f(u)\,u'\,dx$ với $u=g(x)$ : ta đặt biến mới $u$ rồi thay cả $u$ lẫn $du=g'(x)dx$ . Sau khi tính xong, thế $u=g(x)$ trở lại. Nên kiểm tra kết quả bằng cách lấy đạo hàm của biểu thức thu được.

Kéo thử: đổi hằng số $C$ để thấy mọi nguyên hàm của cùng một hàm chỉ khác nhau một hằng số (đồ thị tịnh tiến theo trục tung), còn hàm $f$ không đổi.

Chủ đề: Họ nguyên hàm F(x) + C
Hàm: y = x^3/3 + c
Hàm: y = x^2
Tham số: c = 0 (-4..4, bước 0.5)
Khung: x -3..3, y -5..6
Đọc: giao Oy
Thử: c = 2 | Chọn C để nguyên hàm đi qua điểm (0; 2)
Thử: c = -1 | Chọn C để nguyên hàm đi qua điểm (0; −1)

Bật JavaScript để kéo thử đồ thị này.

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Tìm $\displaystyle \int \left(x^4-\frac{2}{x}+\sqrt{x}\right)dx \quad (x>0)$ .

Lời giải · 2 bước

Nguyên hàm của tổng bằng tổng các nguyên hàm, do đó

\int \left(x^4-\frac{2}{x}+\sqrt{x}\right)dx = \int x^4\,dx-2\int \frac{1}{x}\,dx+\int x^{\frac{1}{2}}\,dx.

Bước 2

Dùng bảng nguyên hàm, ta được

\int \left(x^4-\frac{2}{x}+\sqrt{x}\right)dx = \frac{x^5}{5}-2\ln x+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C.

Ví dụ 2

Tính $\displaystyle \int x(x^2+1)^5\,dx$ .

Lời giải · 2 bước

Đặt $u=x^2+1$ , khi đó $du=2x\,dx$ , suy ra $x\,dx=\dfrac{1}{2}du$ . Ta có

\int x(x^2+1)^5\,dx = \frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^6}{6}+C = \frac{(x^2+1)^6}{12}+C.

Bước 2

Kiểm tra: $\left(\dfrac{(x^2+1)^6}{12}\right)'=\dfrac{6(x^2+1)^5\cdot 2x}{12}=x(x^2+1)^5$ .

Ví dụ 3

Tính $\displaystyle \int \tan x\,dx$ .

Lời giải · 2 bước

Vì $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ , đặt $u=\cos x$ , suy ra $du=-\sin x\,dx$ . Khi đó

\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u|+C = -\ln|\cos x|+C.

Bước 2

Vậy $\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$ .

Ví dụ 4

Một chất điểm chuyển động thẳng có gia tốc $a(t)=2t$ (m/s $^2$ ). Tại thời điểm $t=0$ , vận tốc của chất điểm là $3$ m/s và vị trí của nó là gốc toạ độ. Hãy tìm quy luật vận tốc $v(t)$ và quãng đường đi được trong 4 giây đầu tiên.

Lời giải · 4 bước

Vì $v'(t)=a(t)=2t$ nên

v(t)=\int 2t\,dt=t^2+C.

Bước 2

Dùng điều kiện $v(0)=3$ ta được $C=3$ , do đó $v(t)=t^2+3$ (m/s).

Bước 3

Tiếp theo, $s'(t)=v(t)=t^2+3$ , nên

s(t)=\int (t^2+3)\,dt=\frac{t^3}{3}+3t+D.

Bước 4

Vì $s(0)=0$ nên $D=0$ . Do $v(t)>0$ nên quãng đường đi được trong 4 giây đầu là

s(4)=\frac{4^3}{3}+3\cdot 4=\frac{64}{3}+12=\frac{100}{3}\approx 33{,}33\text{ (m)}.

3.1 Tự luyện nhanh

Câu hỏi 1

Tính $\displaystyle \int (2x+3)^4\,dx$ .

Gợi ý trả lời

Đặt $u=2x+3$ , khi đó $du=2\,dx$ , suy ra $dx=\dfrac{1}{2}du$ ; kết quả là $\dfrac{(2x+3)^5}{10}+C$ .

Nhớ nhanh

1. Khái niệm nguyên hàm

1.1 Tính chất của nguyên hàm

1.2 Bảng nguyên hàm cơ bản

2. Mở rộng: đổi biến trong tính nguyên hàm

3. Ví dụ minh hoạ

3.1 Tự luyện nhanh