Bài 13. Bài tập về khí lí tưởng – Tóm tắt Vật lí 12

1. Nhắc lại kiến thức cần dùng

Định nghĩa

Khí lí tưởng là mô hình chất khí trong đó lực tương tác giữa các phân tử được coi là không đáng kể và thể tích của các phân tử không đáng kể so với thể tích bình chứa.

Hằng số cần nhớ: $R = 8{,}31\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$ ; ở điều kiện tiêu chuẩn $p_0 = 1{,}013\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$ , $T_0 = 273\ \mathrm K$ , một mol khí lí tưởng chiếm thể tích $V_0 = 22{,}4\ \mathrm L$ .

Định luật quá trình đẳng nhiệt.

Ở nhiệt độ không đổi, áp suất của một lượng khí nhất định tỉ lệ nghịch với thể tích:

pV = \mathrm{const}, \quad p_1V_1 = p_2V_2.

Định luật quá trình đẳng áp.

Ở áp suất không đổi, thể tích của một lượng khí nhất định tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối:

\frac{V}{T} = \mathrm{const}, \quad \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}.

Định luật quá trình đẳng tích.

Ở thể tích không đổi, áp suất của một lượng khí nhất định tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối:

\frac{p}{T} = \mathrm{const}, \quad \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}.

Phương trình trạng thái khí lí tưởng.

Với lượng khí cố định, tỉ số $\dfrac{pV}{T}$ không đổi:

\frac{pV}{T} = \mathrm{const}, \quad \frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}.

Khi biết khối lượng khí $m$ và khối lượng mol $M$ (phương trình Clapeyron): $pV = \nu RT = \dfrac{m}{M}RT$ , với $\nu$ là số mol.

Ba quá trình trong một bảng

Quá trình	Đại lượng không đổi	Liên hệ hai trạng thái
Đẳng nhiệt	$T$	$p_1V_1 = p_2V_2$
Đẳng áp	$p$	$\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$
Đẳng tích	$V$	$\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$

2. Phương pháp giải bài tập

Các bước thường dùng

1.
Chọn lượng khí cố định, xác định trạng thái đầu 1 và trạng thái cuối 2; gọi $p_1,V_1,T_1$ và $p_2,V_2,T_2$ .
2.
Đổi nhiệt độ sang kelvin: $T(\mathrm K) = t(^\circ\mathrm C) + 273$ ; đổi đơn vị: $1\ \mathrm{atm} = 1{,}013\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$ , $1\ \mathrm L = 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ , $1\ \mathrm{cm^3} = 10^{-6}\ \mathrm{m^3}$ .
3.
Nhận dạng quá trình nhờ đại lượng không đổi hoặc nhờ hình vẽ hệ $(p;V)$ , $(p;T)$ , $(V;T)$ .
4.
Viết phương trình nối hai trạng thái; nếu khí chuyển qua nhiều khâu, dùng chính $\dfrac{pV}{T}=\mathrm{const}$ để nối liền.
5.
Thay số và kiểm tra đơn vị trước khi kết luận.

Đọc đồ thị để biết quá trình

Hệ $(p;V)$ : đường hypebol là đẳng nhiệt; đường thẳng nằm ngang là đẳng áp; đường thẳng nằm dọc là đẳng tích.
Hệ $(p;T)$ : đường thẳng (kéo dài) qua gốc toạ độ là đẳng tích; đường thẳng nằm ngang là đẳng áp; đường thẳng dọc là đẳng nhiệt.
Hệ $(V;T)$ : đường thẳng (kéo dài) qua gốc toạ độ là đẳng áp; đường thẳng nằm ngang là đẳng tích; đường thẳng dọc là đẳng nhiệt.
Trong hệ $(p;V)$ , đường đẳng nhiệt càng xa gốc toạ độ thì ứng với nhiệt độ càng cao.

Bài toán bảo toàn lượng khí

Khi hai bình thông nhau, cùng nhiệt độ $T$ thì sau khi cho khí trao đổi:

p_1V_1 + p_2V_2 = p(V_1+V_2).

Nếu hai bình ở hai nhiệt độ khác nhau $T_1,T_2$ , dùng dạng tổng quát:

\frac{p_1V_1}{T_1} + \frac{p_2V_2}{T_2} = \frac{p(V_1+V_2)}{T}

với $T$ là nhiệt độ chung sau khi cân bằng.

3. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Một lượng khí ở trạng thái 1 có $p_1 = 2$ atm, $V_1 = 3$ L, $t_1 = 27^\circ\mathrm C$ . Nén khí đẳng nhiệt đến $p_2 = 6$ atm. Tính $V_2$ .

Lời giải · 2 bước

Quá trình đẳng nhiệt nên $p_1V_1 = p_2V_2$ , suy ra

V_2 = \frac{p_1V_1}{p_2} = \frac{2\cdot 3}{6} = 1\ \mathrm{L}.

Bước 2

Vậy thể tích mới là $1$ L.

Ví dụ 2

Một lượng khí biến thiên đẳng áp. Ở trạng thái 1, $V_1 = 4$ L, $t_1 = 27^\circ\mathrm C$ ; ở trạng thái 2, $V_2 = 5$ L. Tính $t_2$ .

Lời giải · 2 bước

$T_1 = 27 + 273 = 300$ K. Quá trình đẳng áp:

\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \Rightarrow T_2 = \frac{V_2T_1}{V_1} = \frac{5\cdot 300}{4} = 375\ \mathrm K.

Bước 2

Vậy $t_2 = 375 - 273 = 102^\circ\mathrm C$ .

Ví dụ 3

Xilanh kín chứa khí ở $p_1 = 3$ atm, $t_1 = 27^\circ\mathrm C$ . Nung nóng đẳng tích đến $p_2 = 3{,}6$ atm. Tính $t_2$ .

Lời giải · 2 bước

$T_1 = 300$ K. Quá trình đẳng tích:

\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \Rightarrow T_2 = \frac{p_2T_1}{p_1} = \frac{3{,}6\cdot 300}{3} = 360\ \mathrm K.

Bước 2

Vậy $t_2 = 360 - 273 = 87^\circ\mathrm C$ .

Ví dụ 4

Một lượng khí ở trạng thái 1 có $p_1 = 1$ atm, $V_1 = 4$ L, $T_1 = 300$ K. Ở trạng thái 2 có $p_2 = 2$ atm, $T_2 = 600$ K. Tính $V_2$ .

Lời giải · 2 bước

Dùng phương trình trạng thái cho lượng khí cố định:

\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2} \Rightarrow V_2 = \frac{p_1V_1T_2}{T_1p_2} = \frac{1\cdot 4\cdot 600}{300\cdot 2} = 4\ \mathrm L.

Bước 2

Vậy $V_2 = 4$ L.

Ví dụ 5

Tính thể tích của 4 g khí oxygen $\mathrm{O_2}$ ở $27^\circ\mathrm C$ và $10^5$ Pa. Cho khối lượng mol $M = 32\ \mathrm{g/mol}$ .

Lời giải · 2 bước

Số mol khí: $\nu = \dfrac{m}{M} = \dfrac{4}{32} = 0{,}125$ mol; $T = 300$ K.

V = \frac{\nu RT}{p} = \frac{0{,}125\cdot 8{,}31\cdot 300}{10^5} \approx 3{,}12\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^3}.

Bước 2

Vậy $V\approx 3{,}12$ L.

Ví dụ 6

Hai bình khí có thể tích $V_1 = 6$ L, $V_2 = 4$ L được nối bằng van. Ban đầu cùng nhiệt độ, áp suất lần lượt $p_1 = 2$ atm, $p_2 = 5$ atm. Mở van cho khí trao đổi, nhiệt độ không đổi. Tính áp suất chung.

Lời giải · 2 bước

Nhiệt độ không đổi nên $p_1V_1 + p_2V_2 = p(V_1+V_2)$ :

p = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1+V_2} = \frac{2\cdot 6 + 5\cdot 4}{6+4} = \frac{12+20}{10} = 3{,}2\ \mathrm{atm}.

Bước 2

Vậy áp suất chung là $3{,}2$ atm.

4. Liên hệ thực tế

Bơm xe đạp: nén khí làm thể tích giảm, áp suất tăng (gần đẳng nhiệt), nhờ đó bánh xe cứng lên.
Nồi áp suất: đậy kín khiến áp suất hơi nước tăng, nước sôi ở nhiệt độ cao hơn $100^\circ\mathrm C$ , thức ăn chín nhanh hơn.
Ống tiêm bịt kín đầu: đẩy pit-tông làm thể tích khí giảm, áp suất tăng (gần đẳng nhiệt nếu đẩy chậm).
Bình khí, bình xịt để nơi nóng: thể tích không đổi, nhiệt độ tăng làm áp suất tăng theo $\dfrac{p}{T}=\mathrm{const}$ , có thể gây nổ.

5. Tự kiểm tra

Câu hỏi 1

(1) Một lượng khí ở $27^\circ\mathrm C$ , áp suất $2\cdot 10^5$ Pa, thể tích $10$ L. Nung nóng đẳng áp đến $127^\circ\mathrm C$ . Tính thể tích mới.

Gợi ý trả lời

Đẳng áp với $T_1 = 300$ K, $T_2 = 400$ K; $V_2 = V_1\dfrac{T_2}{T_1} = 10\cdot\dfrac{400}{300}\approx 13{,}3$ L.

Câu hỏi 2

(2) Khí có $p_1 = 10^5$ Pa, $V_1 = 100\ \mathrm{cm^3}$ được nén đẳng nhiệt còn $V_2 = 25\ \mathrm{cm^3}$ . Tính $p_2$ .

Gợi ý trả lời

$p_2 = \dfrac{p_1V_1}{V_2} = \dfrac{10^5\cdot 100}{25} = 4\cdot 10^5$ Pa.

Nhớ nhanh

1. Nhắc lại kiến thức cần dùng

2. Phương pháp giải bài tập

3. Ví dụ minh hoạ

4. Liên hệ thực tế

5. Tự kiểm tra