Bài 12. Áp suất khí theo mô hình động học phân tử. Quan hệ giữa động năng phân tử và nhiệt độ – Tóm tắt Vật lí 12

1. Áp suất khí theo mô hình động học phân tử

Khái niệm

Khí lí tưởng: mô hình khí trong đó bỏ qua thể tích riêng của phân tử và không xét lực tương tác giữa các phân tử ngoài thời điểm va chạm.
Áp suất khí: độ lớn lực trung bình (vuông góc) do các phân tử khí va chạm tác dụng lên một đơn vị diện tích thành bình, kí hiệu $p$ , đơn vị pascal (Pa).

Kết quả của mô hình động học phân tử.

Xét khí lí tưởng có mật độ phân tử $n$ , mỗi phân tử khối lượng $m$ ; gọi $\overline{v^2}$ là trung bình của bình phương tốc độ các phân tử. Áp suất khí được xác định bởi quan hệ:

p = \frac{1}{3}nm\overline{v^2}

Ý nghĩa các kí hiệu và đơn vị:

$p$ : áp suất khí, đơn vị Pa.
$n = \dfrac{N}{V}$ : mật độ phân tử, tức số phân tử trên một đơn vị thể tích, đơn vị $\mathrm{m^{-3}}$ ; $N$ là số phân tử, $V$ thể tích bình.
$m$ : khối lượng một phân tử khí, đơn vị kg.
$\overline{v^2}$ : trung bình của bình phương tốc độ các phân tử, đơn vị $\mathrm{m^2/s^2}$ ; căn bậc hai $\sqrt{\overline{v^2}}$ (đơn vị $\mathrm{m/s}$ ) đặc trưng cho tốc độ chuyển động nhiệt của phân tử.

Cách suy luận cốt lõi:

Phân tử va chạm đàn hồi vào thành bình, thành phần vận tốc vuông góc với thành đổi dấu; động lượng của phân tử thay đổi lượng bằng $2mv_x$ , trong đó $v_x$ là thành phần vận tốc vuông góc thành.
Trong khoảng thời gian $\Delta t$ , chỉ những phân tử nằm trong hình hộp đáy $S$ , chiều dài $v_x\Delta t$ và đang chuyển động về phía thành mới đập vào thành. Lực do khí tác dụng lên thành bằng tổng độ biến thiên động lượng chia cho $\Delta t$ ; chia lực cho $S$ , rồi dùng $\overline{v_x^2}=\dfrac{1}{3}\overline{v^2}$ (chuyển động hỗn loạn nên ba phương như nhau), ta được công thức trên.

2. Động năng tịnh tiến trung bình và nhiệt độ

Quan hệ giữa động năng tịnh tiến trung bình của phân tử với nhiệt độ tuyệt đối.

Động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử trong khí lí tưởng tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối:

\bar{W}_{\text{đ}} = \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT

Các kí hiệu:

$\bar{W}_{\text{đ}}$ : động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử khí, đơn vị J.
$k = 1{,}38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}$ : hằng số Boltzmann.
$T$ : nhiệt độ tuyệt đối của khí, đơn vị kelvin (K).

Cách thiết lập: viết công thức áp suất dưới dạng $p=\dfrac{2}{3}n\bar{W}_{\text{đ}}$ , so sánh với phương trình trạng thái $pV=\dfrac{N}{N_A}RT$ , tức $p=n\dfrac{R}{N_A}T$ , ta được

\bar{W}_{\text{đ}}=\frac{3}{2}\frac{R}{N_A}T=\frac{3}{2}kT,\qquad k=\frac{R}{N_A}=\frac{8{,}31}{6{,}02\cdot10^{23}}\approx1{,}38\cdot10^{-23}\,\mathrm{J/K}.

Đồng thời suy ra:

p = nkT.

Lưu ý

Quan hệ $p=nkT$ cho thấy áp suất khí tỉ lệ thuận với mật độ phân tử và nhiệt độ tuyệt đối.
Khi $T$ càng lớn thì $\bar{W}_{\text{đ}}$ và $\overline{v^2}$ càng lớn; phân tử chuyển động càng nhanh.
Theo mô hình này, nhiệt độ tuyệt đối không nhận giá trị âm vì $\bar{W}_{\text{đ}}\ge 0$ , do đó $0$ K là mốc mà phân tử ngừng chuyển động tịnh tiến.

3. Phương pháp giải bài tập

Các bước thường dùng

1.
Ghi dữ kiện và đổi về đơn vị SI: $p$ ra Pa, $m$ ra kg, tốc độ ra m/s, $T$ ra K.
2.
Cần tìm áp suất từ đặc trưng phân tử: dùng $p = \dfrac{1}{3}nm\overline{v^2}$ .
3.
Bài toán về động năng – nhiệt độ: dùng $\bar{W}_{\text{đ}} = \dfrac{3}{2}kT$ .
4.
Khi liên hệ $p$ , $n$ , $T$ mà không cho tốc độ phân tử: dùng $p = nkT$ .
5.
Mật độ phân tử chưa biết: nếu đề cho khối lượng riêng $\rho$ của khí thì lấy $n = \dfrac{\rho}{m}$ .
6.
Thay số, tính toán, kiểm tra đơn vị trước khi kết luận.

Những lỗi cần tránh

Nhầm $\overline{v^2}$ (trung bình bình phương tốc độ) với $\sqrt{\overline{v^2}}$ : nếu đề cho $\sqrt{\overline{v^2}}$ thì phải bình phương lên trước khi thay vào công thức áp suất.
Trộn $m$ (khối lượng một phân tử) với khối lượng riêng của toàn bộ khí.
Quên $\dfrac{1}{3}$ trong công thức áp suất hoặc quên $\dfrac{3}{2}$ trong quan hệ động năng – nhiệt độ.

4. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1

Một bình chứa khí có mật độ phân tử $n = 2{,}5\cdot 10^{25}\,\mathrm{m^{-3}}$ , mỗi phân tử khối lượng $m = 5{,}0\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ và căn bậc hai của trung bình bình phương tốc độ $\sqrt{\overline{v^2}} = 480\,\mathrm{m/s}$ . Tính áp suất khí trong bình.

Lời giải · 2 bước

Ta có $\overline{v^2} = (480)^2 = 230400\,\mathrm{m^2/s^2}$ .

p = \frac{1}{3}nm\overline{v^2} = \frac{1}{3}\cdot 2{,}5\cdot 10^{25}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-26}\cdot 230400

p = \frac{1}{3}\cdot 1{,}25\cdot 230400 = 96000\,\mathrm{Pa} = 9{,}6\cdot 10^4\,\mathrm{Pa}.

Bước 2

Vậy áp suất khí trong bình bằng $9{,}6\cdot 10^4\,\mathrm{Pa}$ .

Ví dụ 2

Hai bình bằng nhau chứa hai khí khác nhau có cùng nhiệt độ $T = 300\,\mathrm{K}$ . Khối lượng một phân tử khí thứ nhất là $m_1 = 6{,}64\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , khí thứ hai là $m_2 = 4{,}65\cdot 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ . So sánh căn bậc hai của trung bình bình phương tốc độ của hai loại phân tử.

Lời giải · 2 bước

Dùng $\bar{W}_{\text{đ}} = \dfrac{1}{2}m\overline{v^2} = \dfrac{3}{2}kT$ . Vì hai bình cùng $T$ nên các phân tử có cùng $\bar{W}_{\text{đ}}$ , suy ra

\frac{1}{2}m_1\overline{v_1^2} = \frac{1}{2}m_2\overline{v_2^2} \Rightarrow m_1\overline{v_1^2} = m_2\overline{v_2^2}

\frac{\overline{v_1^2}}{\overline{v_2^2}} = \frac{m_2}{m_1} \Rightarrow \frac{\sqrt{\overline{v_1^2}}}{\sqrt{\overline{v_2^2}}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}

Bước 2

Thay số: $\sqrt{\dfrac{4{,}65\cdot 10^{-26}}{6{,}64\cdot 10^{-27}}} = \sqrt{7}\approx 2{,}65$ . Vậy các phân tử khí nhẹ hơn chuyển động nhanh hơn.

Ví dụ 3

Tính nhiệt độ tuyệt đối của khí khi động năng tịnh tiến trung bình của phân tử khí bằng $8{,}28\cdot 10^{-21}\,\mathrm{J}$ . Lấy $k = 1{,}38\cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}$ .

Lời giải · 2 bước

Từ $\bar{W}_{\text{đ}} = \dfrac{3}{2}kT$ suy ra:

T = \frac{2\bar{W}_{\text{đ}}}{3k} = \frac{2\cdot 8{,}28\cdot 10^{-21}}{3\cdot 1{,}38\cdot 10^{-23}} = \frac{16{,}56}{4{,}14}\cdot 10^2 = 400\,\mathrm{K}.

Bước 2

Vậy nhiệt độ tuyệt đối của khí là $400\,\mathrm{K}$ .

5. Liên hệ thực tế

Khi nung nóng khí trong bình kín, thể tích không đổi nên $n$ không đổi; $T$ tăng làm $\overline{v^2}$ tăng và do đó $p$ tăng. Đây là lí do không được đun nóng bình ga, bình xịt, lốp xe vì áp suất tăng cao có thể gây nổ.
Khi bơm thêm khí vào lốp ô tô với thể tích không đổi, số phân tử $N$ tăng làm $n$ tăng; theo $p=nkT$ nếu $T$ không đổi thì $p$ tăng, lốp căng lên.
Ở cùng nhiệt độ, phân tử khí nhẹ (như hydrogen, helium) có $\overline{v^2}$ lớn hơn nhiều so với phân tử khí nặng, vì động năng tịnh tiến trung bình như nhau.

Nhớ nhanh

1. Áp suất khí theo mô hình động học phân tử

2. Động năng tịnh tiến trung bình và nhiệt độ

3. Phương pháp giải bài tập

4. Ví dụ minh hoạ

5. Liên hệ thực tế